全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第3讲等式与不等式【正文】听课手册

第3讲等式与不等式【课标要求】梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a(2)作商法a2.等式的性质(1)如果a=b,b=c,那么a=c.(2)如果a=b,那么a+cb+c,a-cb-c.

(3)如果a=b,那么acbc,ac

bc(c3.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔(双向性).

(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c(单向性).(3)可加性:a>b⇔a+cb+c(双向性).

(4)可乘性:a>b,c>0⇒acbc;

a>b,c<0⇒acbc.

(5)a>b,c>d⇒(单向性).

(6)a>b>0,c>d>0⇒acbd(单向性).

(7)乘方法则:a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥2)(单向性).

常用结论1.若ab>0,且a>b⇔1a<12.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y<b-c.3.若ab<1,a,b,m>0,则ab<若ab>1,a,b,m>0,则ab>a题组一常识题1.[教材改编]设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为.

2.[教材改编]已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是.

3.[教材改编]下列命题为真命题的是(填序号).

①若ac2>bc2,则a>b;②若a>b>0,则a2>b2;③若a<b<0,则a2<ab<b2;④若a<b<0,则1a>1题组二常错题◆索引:求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不注意符号的影响致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不明确致错.4.若1≤x≤3,-2≤y≤1,则2x-y的取值范围为.

5.已知实数a∈(-3,1),b∈18,14,则6.已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是.

比较数(式)的大小例1(1)(多选题)下列不等式中正确的是 ()A.x2-2x>-3(x∈R)B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)C.a2+b2>2(a-b-1)D.ab<a+2026b+2026((2)已知a,b都是正数,比较大小:aabbabba.

总结反思(1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等.(2)作差(商)法的一般步骤是:作差(商),变形,定号,得出结论.变式题(1)已知a≥1,则M=a+1-a与N=a-a-1(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则 A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c不等式的性质例2(1)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是 ()A.若a>b,c>d,则a+b>c+dB.若a2>b2,则-a<-bC.若c>a>b>0,则ac-D.若a>b>0且m>0,则a+m(2)(多选题)若c3a<c3b<0,则A.|a|<|b| B.ac<bcC.a-bc>0 D.总结反思解决不等式有关问题常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.(2)利用特殊值法排除错误答案,需注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单;三是所取的值要有代表性.(3)构造函数,利用函数的单调性判断.变式题(1)[2025·北京房山区一模]已知a,b∈R,且a<b,则 ()A.1a>1b B.a2<C.a3<b3 D.ln(b-a)>0(2)(多选题)[2025·山东临沂二模]已知a>b>c,则下列不等式一定正确的是 ()A.1a-c<1a-b C.a+b>c D.a2+c2>b2不等式性质的综合应用例3(多选题)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则 ()A.1≤x≤4 B.-2≤y≤1C.2≤4x+y≤15 D.13≤x-y总结反思求代数式的取值范围需注意两点:(1)严格运用不等式的性质;(2)利用整