全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第18讲导数与函数的极值、最值【答案】作业手册

第18讲导数与函数的极值、最值1.B[解析]由题可得f'(x)=1x-1=1-xx,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f2.A[解析]∵f(x)=-xex,∴f'(x)=-(x+1)ex,令f'(x)=0可得x=-1,当x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,∴f(x)极大值=f(-1)=1e.故选A3.C[解析]由f(x)=cosx+xsinx得f'(x)=-sinx+xcosx+sinx=xcosx,当x∈0,π2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈π2,π时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在[0,π]上的最大值为f4.B[解析]对于A,C,因为函数y=lgx和y=2x都是增函数,所以它们都不存在极小值,故A,C错误;对于B,y=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x,求导得y'=3x2-6x+2,由y'=3x2-6x+2>0,得x<1-33或x>1+33,由y'=3x2-6x+2<0,得1-33<x<1+33,所以y=x(x-1)(x-2)在-∞,1-33,1+33,+∞上单调递增,在1-33,1+33上单调递减,所以y=x(x-1)(x-2)在x=1+33处取得极小值,故B正确;对于D,对y=x+sinx求导得y'=1+cos5.B[解析]由题意可知,f'(x)=ax-bx2,f(1)=-2,f'(1)=0,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-2x+2x2=2(-x+1)x2.令f'(x)=0,得x=1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(6.ABD[解析]对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,故A正确;对于B,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2,故B正确;对于C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;对于D,当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD.7.3[解析]g(x)的定义域为(0,+∞),由图可得当x∈(0,1)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,3)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=1为函数f(x)的极大值点.当x∈(3,10)时,g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=3为函数f(x)的极小值点.当x∈(10,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=10为函数f(x)的极大值点.所以f(x)的极小值点为3.8.-1[解析]由f(x)=x3+2ax2+a2x+1,得f'(x)=3x2+4ax+a2,因为函数f(x)=x3+2ax2+a2x+1在x=1处有极小值,所以f'(1)=3+4a+a2=0,解得a=-1或a=-3.当a=-1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),当13<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在13,1上单调递减,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(1)是f(x)的极小值,符合题意.当a=-3时,f'(x)=3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3),当x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,当1<x<3时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,3)上单调递减,所以f(1)是f(x)的极大值,不符合题意.9.解:(1)由题可得f'(x)=x+a+bx=x2+ax+bx,x>0,依题意,x1=1,x2=2为f'(x)=0的根,即x1=1,x2=2为方程所以1+2=-a,1×2=b,所以a=-3,b=2.(2)由(1)得f(x)=12x2-3x+2lnx,f'(x)=x2-3x+2x,所以直线l的方程为y=t2-3t+2则g(t)=-12t2+2lnt-2,t>0,所以g'(t)=-t+2t.令g'(t)=0,得t=2.当0<t<2时,g'(t)>0,g(t)单调递增,当t>2时,g'(t)<0,g(t)单调递减,所以当t=2时,g(t)取得最大值,最大值为g(210.A[解析]由题设知f'(x)=2x-3lnx-3(2x-3)2,故2x1-3lnx1-3=0,2x2-3lnx2-3=0,即lnx1=13(2x1-3),lnx2=13(2x2-3).而f(x1)=x1lnx12x1-3=x1·13(2x1-3)11.D[解析]由题可知f'(x)=(x-b)2+2(x-a)(x-b)=3(x-b)x-2a+b3,因为a<b,所以2a+b3<b,故当x<2a+b3或x>b时,f'(x)>0,即f(x)在-∞,2a+b3,(b,+∞)上单调递增,当2a+b3<x<b时,f'(x)<0,即f(x)在2a+b3,b上单调递减,则f(x)的极小值点为x=b=5,极大值点为x=2a+b3.因为f2a12.BCD[解析]对于A,由题意知f'(x)=3x2-6x,令f'(x)>0,解得x<0或x>2,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(2,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,解得0<x<2,所以f(x)在(0,2)上单调递减.所以f(x)在x=0处取得极大值,所以f(x)的极大值点为0,故A错误.对于B,因为f(x)的极小值为f(2)=-4<0,极大值为f(0)=0,所以f(x)有且仅有2个零点,故B正确.对于C,因为f(2-x)+f(x)=(2-x)3-3(2-x)2+x3-3x2=-4,所以f(x)的图象关于点(1,-2)对称,故C正确.对于D,由C可知,f12024+f22024+f32024+…+f40462024+f40472024=-4×13.16327π[解析]由题意,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有c2+b2=4,该圆锥的体积V=13π·b2·c=13π·(4-c2)·c.设f(x)=x·(4-x2)(0<x<2),则f'(x)=4-3x2=-3x+233x-233,当x∈0,233时,f'(x)>0,当x∈233,2时,f'(x)<0,所以f(x)在0,2314.-16[解析]令f'(x)=cosx+3cos2x+2=cosx+3(2cos2x-1)+2=6cos2x+cosx-1=(3cosx-1)(2cosx+1)=0,得cosx=13或cosx=-12.如图,画出y=cosx的图象,画出直线y=13,y=-12,结合图象可知,在xi(i=1,2,…,n)的两侧附近f'(x)的正负相反,可得极值点有8个,并且x1与x8,x4与x5,x2与x7,x3与x6互为相反数.因为sinx15.解:(1)证明:当k=0时,f(x)=2lnx-x2+1(x>0),则f'(x)=2x-2x=2当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)≤f(1)=0.(2)由题可得f'(x)=2x-(k+2)x-k=(x+1)2x-(k当k≤-2时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)无极值;当k>-2时,若0<x<2k+2,则f'(x)>0,若x>2k+2,则f'(x)<0,所以f(x)在0,2k+2上单调递增,在2k+2,+∞上单调递减,此时f(x)的极大值为f2k+2=2ln2k+2-kk+2=2ln2k+2所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以由g2k得2k+2>1,解得k综上,k的取值范围为(-2,0).16.解:(1)由题可得f'(x)=4acosx+2(a2+1)x,因为f(x)在x=0处取得极小值,所以f'(0)=0,即4acos0+2(a2+1)×0=4a=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=x2,由二次函数的性质可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,满足题意,所以a=0.(2)当a=1时,f(x)=4sinx+2x2,则f'(x)=4cosx+4x=4(cosx+x).令g(x)=f'(x)=4(cosx+x),则g'(x)=4(-sinx+1),因为π2≤x≤π,所以g'(x)=4(-sinx+1)≥0,所以g(x)在区间π又gπ2=4cosπ2+π2=2π>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在区间π2,π上单调递增,所以f(x)在区间π(3)证明:由题可得f'(x)=4acosx+2(a2+1)x.当a=0时,f(x)=x2,由二次函数的单调性可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)恰有一个极值点.当a>0时,设h(x)=f'(x)=4acosx+2(a2+1)x,则h'(x)=-4asinx+2(a2+1)=-4asinx-a2+12a.因为a2+1所以h'(x)≥0,