全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第56讲圆锥曲线热点问题第1课时长度、斜率、面积问题【答案】作业手册

第56讲圆锥曲线热点问题/第1课时长度、斜率、面积问题/1.解:(1)设焦距为2c,依题意得2a+2所以b2=a2-c2=3,所以C的方程为x24+y(2)如图,依题意得P(0,3),F1(-1,0),F2(1,0),则直线PF1的方程为y=3x+3,设l的方程为x=my+1m<-33,A(x1,y1),B(x2由x=my+1,x24+y23=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,所以Δ=36m由x=my+1,y=3x+3,得点因为|AN|=|F2B|,所以|y1-yN|=|yF2-y2|,其中yF2因为N,F2在线段AB上,所以y1-yN=yF2-y2,即y1+y2=yF2+yN,所以-6m3m2+4=231-3m,解得2.解:(1)因为抛物线C过点A(1,2),所以22=2p,得p=2,所以C的方程为y2=4x.(2)①证明:如图,设直线PQ的方程为x+1=my,P(x1,y1),Q(x2,y2),由y2=4x,x+1=my,得y2-4my+4=0,则Δ=(4m)2-16>0,y1+y2=4m,y1y又kPF+kQF=y1x1-1y12m2m×4-2×4m(x1-1)(x2-②因为S△PFM=S△AQM,所以S△PFQ=S△AFQ,连接PA,故PA∥FQ,所以∠PAF=∠QFA,由①知∠PFA=∠QFA,所以∠PFA=∠PAF,所以|PA|=|PF|,所以点P在线段AF的中垂线上,故点P的纵坐标为1,将y=1代入抛物线方程可得x=14,所以点P的坐标为13.解:(1)因为点P(2,1)在双曲线C:x2b2+1-所以4b2+1-1b故双曲线C的方程为x22-y2(2)方法一:若k0=2,则直线PA的方程为y=2(x-2)+1,直线PB的方程为y=-2(x-2)+1.由y=2(x-2)+1,x22因为方程有一个根为2,所以xA=10-423,yA=42-53.同理可得xB=10+42310-163方法二:直线AP的方程为y=k0(x-2)+1,直线BP的方程为y=-k0(x-2)+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k0(x-2)+1,x22-y2=1,得(1-2k02)x2+(8k02-4k0)x-8k02+8k0-4=0,故2x1=-8k02+8k0-41-2k故|AB|=(x10-163(3)方法一:易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,x22-y2=1,得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以x1由kAP+kBP=0,得y1-1即(x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,所以2k×2m2+22k2-1+(化简得8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k-1+m)=0,所以k=-1或m=1-2k.当m=1-2k时,直线AB:y=kx+m=k(x-2)+1过点P(2,1),与题意不符,舍去.综上,直线AB的斜率为-1.方法二:直线AP的方程为y=k0(x-2)+1,直线BP的方程为y=-k0(x-2)+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k0(x-2)+1,x22-y2=1,故2x1=-8所以x1=-4同理可得x2=-4故直线AB的斜率kAB=y2[-k-k-k04.解:(1)设M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1化简得y2=2|x|+2x,所以点M的轨迹C的方程为y2=4(2)设直线l的方程为y-1=k(x+2),由y可得ky2-4y+4(2k+1)=0,要使直线l与轨迹C有三个公共点,则k≠0,方程ky2-4y+4(2k+1)=0的判别式Δ=-16(2k2+k-1),设直线l与x轴的交点为(x0,0),在y-1=k(x+2)中,令y=0,得x0=-2k要使直线l与轨迹C有三个公共点,只需Δ=-16(2k2+k-1)>0,x(3)设My124,y1,Ny224,y2,由(2)知y1+所以y1y2=8+y1+y2.由直线l的方程可知A(x0,0),又点A,B关于原点对称,-x0=2+1k=y1y2所以AB=y1y24-x0则AB·AP=y1y22y1y24-2又y1y2>0,可得y1y2=20,则y1+y2=12,故y1=2,y2=10,则M(1,2),N(25,10),B(5,0),故直线MN的方程为x-3y+5=0,|MN|=(1-25)2+(2-10)2=810,点B到直线MN的距离为|5+5|12+(-3)5.解:(1)设点C(x,y)为椭圆E上的任意一点,则x2m+2+y2=1,m>0,即x2=(m+2)(1-y2),可得|CP|2=x2+(y+1)2=-(1+m)y2+2y+(3+m),设f(y)=-(1+m)y2+2y+(3+m),其中由-1-m<0,可得f(y)的图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为y=1m+1,且0<1m+1<1,所以f(y)max=f1m+1=m2+4m所以椭圆E的方程为x24+y2(2)设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0),且A(x1,y1),B(x2,y2),由对称性,不妨设k<0,如图,此时x1>x2,由y=kx+2,x24+y2=1则Δ=256k2-48(4k2+1)=64k2-48>0,解得k2>34,且x1+x2=-16k4k2+1,x设直线AP和BQ的斜率分别为k1,k2,则直线AP的方程为y=k1x-1,直线BQ的方程为y=k2x+12由y=k1x-1,y=k2x+12,消去x整理得(k1-k2所以54(k1-k2)=k12+k2,化简得k1=3k2,即y化简得kx1+3所以4kx1x2+9x1-6x2=0,又由求根公式可得x1=-8k+24k2所以4