全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第56讲圆锥曲线热点问题第1课时长度、斜率、面积问题【正文】听课手册

第56讲圆锥曲线热点问题【课标要求】1.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.

2.根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化成为代数问题.

3.根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路,运用代数方法得到结论,给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题.

4.能够根据不同的情境,建立平面直线和圆的方程,建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程,能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系.常用结论1.注意转化思想在圆锥曲线热点问题中的应用.(1)点、线位置关系的转化几何性质代数实现平行、三点共线斜率相等或两点横纵坐标的关系垂直斜率之积为-1或斜率为0及不存在对称弦长或点的坐标(2)平行四边形条件的转化几何性质代数实现对边平行斜率相等(斜率均不存在)或向量平行对边相等长度相等或横(纵)坐标差相等对角线互相平分中点重合(3)圆条件的转化几何性质代数实现点在圆上点与直径端点向量数量积为零点在圆外点与直径端点向量数量积为正数点在圆内点与直径端点向量数量积为负数(4)角条件的转化几何性质代数实现锐角、直角、钝角角的余弦(向量数量积)的符号倍角、半角、平分角角平分线的性质、角平分线定理等角(相等或相似)比例线段或斜率2.应用基本不等式求圆锥曲线有关最值的五种典型情况(1)s=k2+12k2+5(2)s=(k2(3)s=n4m(4)s=4k4+13k2+92k2(5)s=k(k23.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.4.切点弦方程:过平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程.二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)的切点弦方程为Ax0x+B·x0y+y0x2+Cy0y+D·x05.若A,B,C,D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是直线AC,BD的斜率存在且不等于零,且kAC+kBD=0(kAC,kBD分别表示AC和BD的斜率).6.对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两条直线,若两条直线的斜率之积为定值,两条直线与圆锥曲线的另外一个交点分别为A,B,则直线AB过定点./第1课时长度、斜率、面积问题/长度问题圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中的基本问题,常见的有弦长、两点间的距离、点到直线的距离、三角形的周长及面积等,求解方法可以用两点间的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式等.例1[2025·成都二诊]已知椭圆C上的动点M(x,y)的坐标总满足关系式(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2a(a>1),且椭圆C与抛物线Γ:y2=2px(1)求抛物线Γ的方程和椭圆C的标准方程;(2)过点F的直线l交抛物线Γ于M,N两点,交椭圆C于A,B两点,若|MF|·|NF|=2|AF|·|BF|,求直线l的方程.

总结反思1.涉及抛物线的焦点弦问题,常常利用根与系数的关系与抛物线的定义、弦长公式,注意利用“设而不求”方法简化运算.2.解决直线与圆锥曲线相交弦问题设直线方程时,如果直线的斜率存在,那么一般设为y=kx+b的形式;如果直线的斜率可能不存在,那么一般设为x=my+t的形式.变式题[2025·北京海淀区二模]已知椭圆C:x26+y22=1,设直线l:y=x+m交椭圆C于不同的两点A,B(1)当m=0时,求|AB|的值;(2)若点Q满足|PQ|=3且|QA|=|QB|,求∠AQB的大小.

斜率问题斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型:根据斜率求值、三点共线、与斜率之和或之积有关的问题.例2[2024·北京卷]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(1)求椭圆E的方程和离心率;(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.

例3[2025·湖北华师附中模拟]已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线互相垂直,且双曲线C经过点(5,1).(1)求双曲线C的标准方程.(2)设P(2,0),直线l与C的两支交于A,B两点(A在第一象限),与y轴交于点Q,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2.(i)求直线PQ的斜率k(用k1,k2表示);(ii)若tan∠BPQ=12,求A的坐标

总结反思圆锥曲线的斜率问题主要考查以下方面:(1)结合直线位置或长度关系,结合对称或斜率相等解决问题;(2)结合斜率之和或之积为定值考查圆锥曲线的性质.解决此类问题的一般方法是把与斜率有关的式子用某些量来表示,通过化简或赋值得到结果.变式题[2025·武汉调研]已知平面内一动圆过点P(2,0),且y轴被该圆截得的弦长为4,设其圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上,AB∥CD,对角线AC与BD交于点T(2,1),求直线AB的斜率.

面积问题圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题,有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形的面积,求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线的距离公式,用某些量(如动直线的斜率或截距)表示面积,再利用函数、方程或不等式知识求解.例4[2024·新课标Ⅰ卷]已知点A(0,3)和点P3,32分别为椭圆C:x2a2+y(1)求C的离心率;(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.

总结反思圆锥曲线中的面积计算,都会涉及距离的计算,包括两点间的距离、点到直线的距离、弦长公式等,求解时既要熟悉和应用好这些公式,又要善用“设而不求”的方法,在求解和运算过程中消去一些有关参量.变式题[2025·湖北襄阳四中二模]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,A为椭圆E(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l:y=33x+