考研复合函数试题及答案

考研复合函数试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)≠0，则下列说法中正确的是（）（2分）A.函数g(x)=f²(x)在点x₀处不可导B.函数h(x)=|f(x)|在点x₀处不可导C.函数k(x)=f(x)/x在点x₀处不可导D.函数l(x)=xf(x)在点x₀处可导【答案】D【解析】函数l(x)=xf(x)在点x₀处可导，因为f(x)在点x₀处可导，根据乘积求导法则，(xf(x))'|_{x=x₀}=f(x₀)+xf'(x₀)。2.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上（）（2分）A.单调递减B.单调递增C.可能单调递增也可能单调递减D.无法确定单调性【答案】B【解析】因为f(x)在区间I上单调递增，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递增。3.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)=0，f'(x₀)≠0，则函数g(x)=|f(x)|在点x₀处（）（2分）A.可导且f'(x₀)=0B.可导且f'(x₀)≠0C.不可导D.无法确定是否可导【答案】C【解析】由于f(x₀)=0且f'(x₀)≠0，函数|f(x)|在x₀处的左右导数不相等，因此g(x)=|f(x)|在点x₀处不可导。4.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上不恒等于0，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上（）（2分）A.必定存在零点B.不存在零点C.可能存在零点也可能不存在零点D.无法确定是否存在零点【答案】C【解析】复合函数g(x)=f(f(x))是否存在零点取决于f(x)的值域是否包含0。由于f(x)在区间I上不恒等于0，但无法确定f(x)的值域是否包含0，因此g(x)可能存在零点也可能不存在零点。5.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)存在，则下列说法中正确的是（）（2分）A.函数g(x)=f(x)在点x₀处必连续B.函数h(x)=f(x)/x在点x₀处必可导C.函数k(x)=f(x)+x在点x₀处必可导D.函数l(x)=f(x)-x在点x₀处必可导【答案】A【解析】函数f(x)在点x₀处可导，根据可导必连续的性质，函数f(x)在点x₀处必连续。6.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递减，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.可能单调递增也可能单调递减D.无法确定单调性【答案】B【解析】因为f(x)在区间I上单调递减，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)>f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递减。7.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)≠0，则函数g(x)=f(x)/x在点x₀处（）（2分）A.可导且g'(x₀)=0B.可导且g'(x₀)≠0C.不可导D.无法确定是否可导【答案】B【解析】根据商的求导法则，函数g(x)=f(x)/x在点x₀处可导，且g'(x₀)=[f'(x₀)x₀-f(x₀)]/x₀²=[f'(x₀)x₀-f(x₀)]/x₀²，由于f'(x₀)≠0，所以g'(x₀)≠0。8.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上不恒等于0，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上（）（2分）A.必定存在零点B.不存在零点C.可能存在零点也可能不存在零点D.无法确定是否存在零点【答案】C【解析】复合函数g(x)=f(f(x))是否存在零点取决于f(x)的值域是否包含0。由于f(x)在区间I上不恒等于0，但无法确定f(x)的值域是否包含0，因此g(x)可能存在零点也可能不存在零点。9.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)存在，则下列说法中正确的是（）（2分）A.函数g(x)=f(x)在点x₀处必连续B.函数h(x)=f(x)/x在点x₀处必可导C.函数k(x)=f(x)+x在点x₀处必可导D.函数l(x)=f(x)-x在点x₀处必可导【答案】A【解析】函数f(x)在点x₀处可导，根据可导必连续的性质，函数f(x)在点x₀处必连续。10.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.可能单调递增也可能单调递减D.无法确定单调性【答案】A【解析】因为f(x)在区间I上单调递增，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递增。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下哪些说法是正确的？（）A.函数f(x)在点x₀处可导，则函数g(x)=f(x)+c在点x₀处也可导B.函数f(x)在点x₀处可导，则函数h(x)=cf(x)在点x₀处也可导C.函数f(x)在点x₀处可导，则函数k(x)=f(x)/c在点x₀处也可导D.函数f(x)在点x₀处可导，则函数l(x)=f(x)/f(x₀)在点x₀处也可导【答案】A、B、C【解析】根据导数的线性性质，函数f(x)在点x₀处可导，则函数g(x)=f(x)+c、h(x)=cf(x)、k(x)=f(x)/c在点x₀处也可导。对于l(x)=f(x)/f(x₀)，因为f(x₀)是常数，所以l(x)在点x₀处也可导。2.以下哪些说法是正确的？（）A.函数f(x)在区间I上连续，则函数g(x)=f(f(x))在区间I上连续B.函数f(x)在区间I上可导，则函数h(x)=f(f(x))在区间I上可导C.函数f(x)在区间I上单调递增，则函数k(x)=f(f(x))在区间I上单调递增D.函数f(x)在区间I上单调递减，则函数l(x)=f(f(x))在区间I上单调递减【答案】A、C【解析】根据复合函数的性质，如果函数f(x)在区间I上连续，则函数g(x)=f(f(x))在区间I上连续；如果函数f(x)在区间I上单调递增，则函数k(x)=f(f(x))在区间I上单调递增。对于可导性和单调性，复合函数的可导性和单调性需要f(x)在对应区间上满足一定条件。3.以下哪些说法是正确的？（）A.函数f(x)在点x₀处可导，则函数g(x)=f(x)+c在点x₀处也可导B.函数f(x)在点x₀处可导，则函数h(x)=cf(x)在点x₀处也可导C.函数f(x)在点x₀处可导，则函数k(x)=f(x)/c在点x₀处也可导D.函数f(x)在点x₀处可导，则函数l(x)=f(x)/f(x₀)在点x₀处也可导【答案】A、B、C【解析】根据导数的线性性质，函数f(x)在点x₀处可导，则函数g(x)=f(x)+c、h(x)=cf(x)、k(x)=f(x)/c在点x₀处也可导。对于l(x)=f(x)/f(x₀)，因为f(x₀)是常数，所以l(x)在点x₀处也可导。4.以下哪些说法是正确的？（）A.函数f(x)在区间I上连续，则函数g(x)=f(f(x))在区间I上连续B.函数f(x)在区间I上可导，则函数h(x)=f(f(x))在区间I上可导C.函数f(x)在区间I上单调递增，则函数k(x)=f(f(x))在区间I上单调递增D.函数f(x)在区间I上单调递减，则函数l(x)=f(f(x))在区间I上单调递减【答案】A、C【解析】根据复合函数的性质，如果函数f(x)在区间I上连续，则函数g(x)=f(f(x))在区间I上连续；如果函数f(x)在区间I上单调递增，则函数k(x)=f(f(x))在区间I上单调递增。对于可导性和单调性，复合函数的可导性和单调性需要f(x)在对应区间上满足一定条件。5.以下哪些说法是正确的？（）A.函数f(x)在点x₀处可导，则函数g(x)=f(x)+c在点x₀处也可导B.函数f(x)在点x₀处可导，则函数h(x)=cf(x)在点x₀处也可导C.函数f(x)在点x₀处可导，则函数k(x)=f(x)/c在点x₀处也可导D.函数f(x)在点x₀处可导，则函数l(x)=f(x)/f(x₀)在点x₀处也可导【答案】A、B、C【解析】根据导数的线性性质，函数f(x)在点x₀处可导，则函数g(x)=f(x)+c、h(x)=cf(x)、k(x)=f(x)/c在点x₀处也可导。对于l(x)=f(x)/f(x₀)，因为f(x₀)是常数，所以l(x)在点x₀处也可导。三、填空题（每题4分，共16分）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)=1，f'(x₀)=2，则函数g(x)=f(2x)在点x₀处的导数为______。（4分）【答案】4【解析】根据链式法则，函数g(x)=f(2x)在点x₀处的导数为g'(x₀)=2f'(2x₀)=2f'(x₀)=4。2.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上______。（4分）【答案】单调递增【解析】因为f(x)在区间I上单调递增，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递增。3.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)≠0，则函数g(x)=|f(x)|在点x₀处______。（4分）【答案】不可导【解析】由于f(x₀)=0且f'(x₀)≠0，函数|f(x)|在x₀处的左右导数不相等，因此g(x)=|f(x)|在点x₀处不可导。4.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上不恒等于0，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上______。（4分）【答案】可能存在零点也可能不存在零点【解析】复合函数g(x)=f(f(x))是否存在零点取决于f(x)的值域是否包含0。由于f(x)在区间I上不恒等于0，但无法确定f(x)的值域是否包含0，因此g(x)可能存在零点也可能不存在零点。四、判断题（每题2分，共10分）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)≠0，则函数g(x)=f²(x)在点x₀处可导。（）（2分）【答案】（×）【解析】函数g(x)=f²(x)在点x₀处的导数为g'(x₀)=2f(x₀)f'(x₀)，虽然f(x₀)≠0，但若f'(x₀)=0，则g'(x₀)=0，因此不能确定g(x)在点x₀处一定可导。2.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上单调递增。（）（2分）【答案】（√）【解析】因为f(x)在区间I上单调递增，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递增。3.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)=0，f'(x₀)≠0，则函数g(x)=|f(x)|在点x₀处不可导。（）（2分）【答案】（√）【解析】由于f(x₀)=0且f'(x₀)≠0，函数|f(x)|在x₀处的左右导数不相等，因此g(x)=|f(x)|在点x₀处不可导。4.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上不恒等于0，则复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上必定存在零点。（）（2分）【答案】（×）【解析】复合函数g(x)=f(f(x))是否存在零点取决于f(x)的值域是否包含0。由于f(x)在区间I上不恒等于0，但无法确定f(x)的值域是否包含0，因此g(x)可能存在零点也可能不存在零点。5.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)存在，则函数g(x)=f(x)/x在点x₀处必可导。（）（2分）【答案】（×）【解析】函数g(x)=f(x)/x在点x₀处的导数为g'(x₀)=[f'(x₀)x₀-f(x₀)]/x₀²，若x₀=0，则g(x)在点x₀处不可导。五、简答题（每题4分，共12分）1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)≠0，f'(x₀)存在，试证明函数g(x)=f²(x)在点x₀处可导。（4分）【解析】根据链式法则，函数g(x)=f²(x)在点x₀处的导数为g'(x₀)=2f(x₀)f'(x₀)，因为f(x₀)≠0，f'(x₀)存在，所以g'(x₀)存在，因此g(x)在点x₀处可导。2.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，试证明复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上单调递增。（4分）【解析】因为f(x)在区间I上单调递增，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递增。3.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)=0，f'(x₀)≠0，试证明函数g(x)=|f(x)|在点x₀处不可导。（4分）【解析】由于f(x₀)=0且f'(x₀)≠0，函数|f(x)|在x₀处的左右导数不相等，因此g(x)=|f(x)|在点x₀处不可导。六、分析题（每题10分，共20分）1.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，试分析复合函数g(x)=f(f(x))在区间I上的连续性和可导性。（10分）【解析】因为f(x)在区间I上连续，所以对于任意的x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。又因为f(x)连续，所以f(f(x₁))<f(f(x₂))，即g(x)在区间I上单调递增。根据连续性和单调性的关系，g(x)在区间I上连续。又因为f(x)在区间I上单调递增，所以g(x)在区间I上可导。2.设函数f(x)在点x₀处可导，且f(x₀)≠0，f'(x₀)存在，试分析函数g(x)=f²(x)在点x₀处的连续性和可导性。（10分）【解析】因为f(x)在点x₀处可导，根据可导必连续的性质，f(x)在点x₀处连续。函数g(x)=f²(x)在点x₀处的导数为g'(x₀)=2f(x₀)f'(x₀)，因为f(x₀)≠0，f'(x₀)存在，所以g'(x₀)存在，因此g(x)在点x₀处可导。七、综合应用题（每题20分，共40分）1.设函数f(x)在区间I上连续，且f(x)在该区间上单调递增，试证明