广东江门市2025-2026学年普通高中高二上学期调研测试（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东江门市2025-2026学年普通高中高二上学期调研测试（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】B【解析】数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30，共有10个数据，可得，所以数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即为.故选：B.2.某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（）A“全部中靶” B.“至少中靶1次”C.“至少中靶2次” D.“至多中靶1次”【答案】C【解析】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则表示共中靶0次，表示共中靶1次，所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次.故选：C.3.已知直线：，，则直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】由：可得直线的斜率为，因，则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，又，则.故选：D.4.已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是.故选：A.5.已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为椭圆的长轴长为4，所以，因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得，则的方程为，故B正确.故选：B.6.如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为，中位数为，众数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小.平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数，故得.故选：D.7.已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，设直线的方程为，与抛物线交于两点，设，由消去可得：，则，由抛物线的定义可知，所以.故选：C.8.如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且，的夹角为，且，，设，则且，由，可得，又由，所以，所以，即线段的长度的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，直线，则（）A.直线过定点B.圆心到直线的距离的最大值为2C.直线被圆截得的弦长的取值范围是.D.当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是【答案】BCD【解析】对于A，将直线化为，联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A错误；对于B，由圆，可得圆心为，半径，因为直线过定点，当时，圆心到直线的距离取得最大值，又因为，所以圆心到直线的距离的最大值为，所以B正确；对于C，由B项知，圆心到直线的距离的取值范围为，由圆的弦长公式，当，可得；当，可得，所以直线被圆截得的弦长的取值范围是，所以C正确；对于D，当直线被圆截得的弦长最短时，即时，因为，所以，则直线的方程为，即，所以D正确.故选：BCD.10.已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（）A.B.双曲线的离心率为2C.双曲线的渐近线方程为D.若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14【答案】BC【解析】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得，则，故A错误；对于B，由上分析，，故B正确；对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确；对于D，若点在双曲线的左支上，由可得，此时，的周长为；若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误.故选：BC.11.在空间直角坐标系中，已知向量（），点，点.若是直线上的任意一点，直线经过点，且以为方向向量，则直线的方程为；若是平面内的任意一点，平面经过点，且以为法向量，则平面的方程为；在棱长为1的正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则（）A.平面的一个法向量为B.直线的方程为C.若过点的平面的方程为，则正方体被平面截得的截面的面积为D.若平面的方程为，平面的方程为，则平面与平面之间的距离为【答案】ACD【解析】对于A，平面

过点

、、，可

得，，设平面

的一个法向量

，则

，即，令得，所以，所以A正确；对于B，直线过

和

，方向向量为

，过

且方向向量为

的直线方程为，所以B错误；对于C，由

平面的方程，得，验证可得到，，满足平面的方程，所以正方体被平面截得的截面为三角形

，边长，，，所以正方体被平面截得的截面是边长为的等边三角形，截面面积为，所以C正确；对于D，由平面

，可知平面

过点，且法向量，由平面

，可知平面

过点，且法向量，因为，所以平面平面，平面与平面之间的距离即为点到平面的距离，点到平面的距离，两平行平面与之间的距离为，选项D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_____.【答案】11【解析】因为的平均数为2，所以.所以的平均数为：.故答案为：11.13.已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____.【答案】0.4或【解析】因为，，，，解得.故答案为：0.4.14.已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____.【答案】或【解析】因直线：，，则直线的方程可设为，由圆：可知圆心为，半径为.要使圆上恰有3个点到直线的距离为，需使圆心到直线的距离，解得或，故直线的方程为或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆心为，圆与直线相切.（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.解：（1）解法一：圆与直线相切，圆心到直线的距离，即圆的半径，所以圆的方程为；解法二：设圆的标准方程为：.联立：，化简为：.，.（2）由题意经过点的直线与圆交于，两点，且，所以圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或.所以，，则，故符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，解得.则直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为或.16.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，中点.（1）求直线与平面所成的角的余弦值；（2）求点到平面的距离.解：（1）由题意得：，，两两垂直且相交，故以点B为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系，由题意可得：，，，，，，故，，，设平面的一个法向量，得，不妨令，得，故平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为（），则，，故直线与平面所成的角的余弦值为.（2）方法1：由（1）可得平面的一个法向量且，设点到平面的距离为，则.故点到平面的距离为.方法2：设点到平面的距离为，由题可知，直三棱柱中，，，又，，平面，平面，即是三棱锥的高，又是的中点，.，，又，，，，，故点到平面的距离为.17.为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求的值；（2）从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率；（3）现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率.解：（1）由题意得，，解得.（2）因为按、分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为、、，从成绩在中抽出的人数为：，分别记为，从人中抽取人进行考核，样本空间为，则，记“至少有人分数低于分”为事件，则.即，因此.故人中至少有人分数低于分的概率为.（3）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为，由题意可得，，.由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立.则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为.18.如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面，是棱的中点，为上的点，设.（1）当时，求异面直线，所成的角的余弦值；（2）是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出实数的值：若不存在，说明理由.（3）若，平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值.解：（1）在四棱锥中，，平面平面，平面平面，平面，则平面，又，即直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：由，得，当时，点，，，则，所以异面直线，所成角的余弦值为.（2）由（1）得，，，，设平面的法向量，则，令，得，由，得，，设平面的法向量，则，令，得，设平面和平面的夹角为，则，解得，所以存在实数，使得平面和平面的夹角余弦值为.（3）由（1）得，由（2）得，又，由，得，即，解得，点，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设直线的方向向量，则，取，得，又，设平面的法向量，则，取，得，设直线l与平面所成的角为，则，所以直线l与平面所成的角的正弦值为.19.已知点是圆：上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，为线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）过点的直线与曲线交于两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若曲线与轴交于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，求的值.解：（1）设点的坐标为，点