广东省2026届高三上学期1月份适应性测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省2026届高三上学期1月份适应性测试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合不为正有理数为无理数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由条件得，即集合由无理数、负有理数和0构成，所以是集合的真子集.故选：B.2.已知平面向量，，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】，，则，由得，解得.故选：D.3.已知直线平分圆的面积，则（）A.0 B. C.2 D.1【答案】A【解析】由题意得圆的圆心为，因为直线平分圆的面积，所以直线必过圆心，则，即，故A正确.故选：A.4.已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（）A.若，则与必然无交点B.若，则与必然无交点C.若，则D.若，则【答案】D【解析】对于A，当且仅当时无交点，但当不与垂直时，显然两者不平行，即与必然有交点；当时，还可能在内，故A错误.对于B，当时，显然，但此时与有无数个交点，故B错误.对于C，若，由知应有，而选项未有该条件，即当不与垂直时，由推不出，故C错误.对于D，由知，由得，故D正确.故选：D.5.已知函数，且是偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将代入，可得，则，于是，显然其对称轴，而是偶函数即曲线关于对称，故得.故选：C.6.记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（）A.2 B.C. D.【答案】B【解析】记的左焦点为，显然，而，于是点在右支的右侧，如下图：则.当且仅当三点共线时，等号成立.故选：B.7.设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】，所以，在区间上无零点，则，解得，，，令，则，在上单调递增，．故选：D．8.已知是的某种排列，集合，，且，则这样的有序数对的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，的总对数为，时，，，除均满足，共对；时，，，则时：若，可取共3种；若，可取共计2种；若，则可取共计1种；不满足的情况为种，共种情况；时，，，则：若，可取1种；若，可取2种；若，可取3种；若，可取4种；若，可取5种；不满足的情况为种，共种情况；时，，，若，可取4种；若，可取3种；若，可取2种；若，可取1种；共种情况；时，，：若，可取2种；若，可取1种；共种情况；时，，，不存在；总情况数为种．故选：C．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知事件为一组相互独立的事件，且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A：因为事件与事件相互独立，所以，故A正确；对于B：因为，故B错误；对于C：因为，所以，因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，于是，故C错误；对于D：因为，故D正确.故选：AD.10.在面积为的中，，则（）A.B.C.D.的外接圆半径为【答案】AB【解析】对于A，由以及正弦定理得，又，则，故A正确；对于B，由得，于是由面积得，得于是，故B正确，对于C，由余弦定理以及正弦定理得，可知时取等，此时由得，即，故C错误；对于D，由C可知，，则，的外接圆半径，故D错误.故选：AB.11.已知数列满足，则（）A.B.C.的前2026项和为D.的前2026项和为【答案】AB【解析】对于A，因，在和上都是增函数，故，即，故A正确；对于B，因，可得，则，又，函数在上是增函数，故，则，故B正确；对于C，因，故的前2026项和为，故C错误；对于D，因，则，故的前2026项和为：，，故D错误.故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则__________．【答案】0【解析】显然，于是．故答案为：0．13.已知，，若，则的最小值为__________.【答案】【解析】将复数转至复平面上进行研究，则复数对应的向量为，复数对应的向量为，若复数，则其所对应的向量，故复数在复平面上对应的点在直线上.直线的斜率，所以直线的方程为，即，因为,所以的最小值为原点到该直线的距离.故答案为：.14.已知椭圆的上，下顶点分别为，左焦点为，右顶点为.已知四边形有外接圆，则的焦距为__________；记该外接圆上有一点，则的取值范围是__________.【答案】；【解析】不妨记，由有外接圆知，由对称性得，由勾股定理得，即，即，由得，故焦距为；显然在该外接圆内，易知外接圆的圆心，即，半径，于是，于是的取值范围是．故答案为：；．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知抛物线的焦点为，过点作斜率为3的直线，且与交于两点.（1）求；（2）求.解：（1）显然，易知3，联立，得，设，于是，由抛物线定义得.（2）由（1）可知，则.16.自2025年6月起，白银价格增长速度迅猛，体现其在重工业与新兴工业中所占据的重要地位.以2025年7月的月份为1，此时白银期货（LOF）C单支价值为100，得到下表数据：月份12345单支价值100102110124129记月份为时单支价值为，进行直线拟合得到.（1）求这五个月份对应白银期货（LOF）单支价值的平均值；（2）求得到的经验回归方程的斜率与纵截距.参考数据：，其中.解：（1）记平均值为，则，这五个月份对应白银期货（LOF）单支价值的平均值为，（2）注意到，，显然，于是.所以经验回归方程的斜率为，纵截距为.17.如图，在三棱锥中，平面，,点满足.（1）若.（i）证明：平面；（ii）求三棱锥的体积.（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求.（1）（i）证明：由平面，而平面，可得，因，则依题意，，在中，，故，因，平面，故平面.（ii）解：此时，由勾股定理得，于是.（2）解：以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，于是，.设平面的法向量为，则，故可取.记直线与平面所成角为，则，两边平方，整理得，即，由可得.18.定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为.（1）求；（2）证明：；（3）记为数列的前项和，证明：.（1）解：显然，于是，故，.（2）证明：注意到，，于是，，可得.（3）证明：注意到，设的前项和为，，，两式相减得；于是.19.已知函数.（1）当时.（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求的零点个数.（2）若的零点个数为2，求的取值集合.解：（1）（i）此时，当时，，，，切线斜率，又切线过点，故可得切线方程为，即.（ii）时，时，，，时，单调递减；时，单调递增，注意到，由零点存在定理可得其在上各存在一个零点，由单调性知其在时有且仅有两个零点，而时，单调递增，此时，可得其在时有且仅有一个零点，综上：的零点个数为3.（2）时，显然有且仅有一个零点，矛盾，时，，考