广东省潮州市2026届高三上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省潮州市2026届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.2.已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A.2或0 B.2 C.0 D.【答案】B【解析】由题设，可得.故选：B.3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，则向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.已知函数，则方程所有的根之和为（）A. B.1 C.5 D.7【答案】B【解析】由，得或，所以或，所有根的和为1.故选：B.5.正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则，故，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.6.若成等差数列；成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．∴故答案为A．7.从5名医生中选择4人参加为期三天的社区志愿服务活动，这三天中，有一天安排两人，另外两天各安排一人，共有（）种安排方法A.180 B.90 C.36 D.30【答案】A【解析】第一步，从5人中选4人，共有种取法，第二步，将4人分成三组，共有种分法，再进行全排有种排法，由分步计数原理知，共有种安排方法.故选：A.8.过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过点作的切线，交轴于点，过点作的平行线交轴于点，则的最小值是（）A.8 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】设过拋物线焦点的直线方程为，设，由得，所以，从而，故，由得，则点处的切线的斜率为，所以切线的方程为，则点，过点作直线的平行线BN的方程为，则，所以，当且仅当时等号成立．故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分.部分选对的得部分分.选对但不全的得部分分.有洗错的得0分）9.某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：耕种深度810121416每公顷产量6.07.57.89.29.5经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（）A.每公顷产量与耕种深度呈负相关 B.耕种深度的平均数为12C.每公顷产量的平均数为7.8 D.【答案】BD【解析】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误；B：由题意知，，故B正确；C：由题意知，，故C错误；D：将点代入方程，得，解得，故D正确.故选：BD.10.如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（）A.三棱锥 B.三棱锥C.三棱锥 D.三棱锥【答案】ACD【解析】记平行六面体的体积为，对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确；对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；对于C，因为平面平面故平面点到平面的距离等于点到平面的距离，故，故C正确；对于D，因为平面平面故平面点到平面的距离等于点到平面的距离，故，故D正确；故选：ACD.11.已知，若不等式的解集为，则下列说法中正确的是（）A.B.函数的对称中心为C.过点可作一条直线与曲线相切D.当时，【答案】BCD【解析】A：因为不等式的解集为即不等式的解集为，所以方程的根为和（二重根），得，即，所以，故A错误；B：由选项A知，则，所以，即的一个对称中心为，故B正确：C：由选项A知，，设过点的切线方程为，设切点为，则，得，整理得，即，解得，此时切点为，说明过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确；D：令，当时，则，只需.而，由，得，即，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.【答案】【解析】由得，解得，所以.故答案为：.13.记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________.【答案】【解析】令，代入圆的方程中，可得，即圆与轴的两个交点为，直线过原点且与圆交于两点，由，可知和相似，可得，即，从而，故答案为：.14.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________.【答案】1012【解析】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知，消去，并整理得，所以（舍去），，于是有.在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数数列，所以必为2的倍数，且．故这样的数组共1012组.故答案为：1012.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外其余均相同．（1）从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸两次恰好只有第2次中奖的概率；（2）每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的分布列及数学期望.解：（1）设“摸2次恰好第2次中奖”为事件，则.所以摸2次恰好只有第2次中奖的概率为.（2）设“每次同时摸2个球，恰好中奖”为事件，则，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4，，，，所以随机变量的分布列是01234随机变量的数学期望：.16.在中，角的对边成公差为2的等差数列．（1）若为锐角三角形，求a的取值范围；（2）若，求的面积．解：（1）∵是公差为2的等差数列，∴，由三角形三边关系得，，∴，又∵为锐角三角形，∴最大角，∴，即，∴，即，解得或，∴.（2）∵，∴由正弦定理可得，∴，解得，则，∴，∴，∴．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点.（1）求证：平面；（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：取中点，连接中，分别为中点，且，又正方形中，为中点，，且，四边形为平行四边形，，平面平面，平面；（2）解：取中点为中点为，连接，中，，，平面平面平面，平面平面，平面，又四边形为正方形，，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，设平面的法向量为，则即，取，则，，设平面的法向量为，则即，取，则，，设平面与平面的夹角为，则.18.已知椭圆的两个焦点为，动点在椭圆上，且的面积最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点，且斜率不为0的直线与相交于两点A，B（在的左侧），设直线的斜率分别为.①求证：为定值；②设直线相交于点，求证：为定值.（1）解：令椭圆的焦距为2c，则，设的顶点的纵坐标为，则，当且仅当时取等号，，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：①直线的斜率存在且不为0，设其方程为，，由消去得，，，则，又，则，所以.②由①知，则，作关于轴的对称点，则三点共线，设，直线方程即为直线方程为，又直线方程为，由，解得，则，由，得，而，则，即，因此点在以为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，所以.19.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）已知曲线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.解：（1）当时，，且，即切点坐标，切线斜率，故所求切线方程，即；（2），.当，即时，，在上单调递减；当，即时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增.（3）因为曲线与曲线有两个不同的交点，所以方程有两个不同实根，等价于方程有两个不同实根，设，则且，当时，时，时，，此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；当时，在上单调递增，当时，，∴存在使，在时，，在时，，在上单调递减，在上单