广东省广州市2025-2026学年高二上学期诊断练习数学试题（B卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市2025-2026学年高二上学期诊断练习数学试题（B卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，使得，因为，，所以，解得.故选：C.2.已知双曲线C的一条渐近线的斜率为，且焦点在x轴上，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为双曲线的焦点在x轴上，则双曲线C的一条渐近线的斜率为，则C的离心率为.故选：D.3.已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立坐标系并确定点坐标，如图，以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，，，设平面的法向量为，则且，即，化简得，，令，则，，即法向量为.故选：A.4.已知直线与圆有两个公共点，若点的坐标为，则（）A.点在圆上 B.点在圆外C.点在圆内 D.以上皆有可能【答案】B【解析】因为直线与圆有两个公共点，所以直线与圆相交，所以，则，即，所以点在圆外.故选：B.5.我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，因为，且平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，取，得，则，又，所以直线到平面的距离为.故选：B.6.数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立；若成等比数列，则，因为，解得或，当时，，此时，即，是以2为周期的数列，所以，，即，此时成等比数列，必要性不成立.故选：A.7.已知数列，对任意的，满足圆与圆的公共弦长为．记数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，将圆方程作差得，即，故两圆公共弦所在直线的方程为，因为公共弦长为，则直线过点，所以，整理可得，所以.故选：D.8.在三棱锥中，平面平面，且，，，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平面中，因为，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中长半轴长，半焦距，点到的距离即为椭圆上的点到焦点所在直线的距离，其最大值为短半轴长，因为平面平面，因此，点到平面的最大距离为3；设，，，由得：，化简得，所以，所以.所以棱锥体积的最大值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.9.已知数列是公比为的等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】设数列的首项为，因为，所以，解得，对于A，，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，，所以C错误；对于D，，所以D正确.故选：BD.10.已知圆，直线，记直线与轴交点为，则（）A.若直线与圆相切，则B.若直线被圆截得的弦长为2，则C.不存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1D.由点向圆作切线，则切线长的最小值为【答案】BCD【解析】易知圆的圆心及半径为，对于A，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，故A错误；对于B，由弦长公式可知，解得，故B正确；对于C，由于圆的半径为1，结合圆的对称性，可知若过圆心，圆中到距离为1的点有2个，若不过圆心，圆中到距离为1的点至多有2个，故C正确；对于D，由勾股定理可知切线长，当时取得等号，故D正确.故选：BCD11.在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（）A.若，则平面平面B.若，有且仅有一个点，使得平面C.若，则异面直线和所成角的取值范围是D.若与平面所成角为，则动点P的轨迹长为【答案】ACD【解析】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系.对于A：在正方体中，易知平面，因为平面，故，在正方形中，易知，又因为，平面，故平面，又因为平面，故平面平面，故A正确；对于B：易知，，，，故，若，则，，若平面，则必有，得，即，得，而，故不存在满足条件的，故B错误；对于C：由B可知，，若，则，易知，，又因，设异面直线和所成角为，则，当时，，此时异面直线和所成角为；当时，，令，则，开口向上的二次函数的对称轴为，因为，故在时取得最小值，此时取得最大值，故当时，，综上所述，当时，，则，即异面直线和所成角的取值范围是，故C正确；对于D：由B可知，，又因为，故，易知在正方体中，平面，故是平面的一个法向量，因为与平面所成角为，故有，化简得，则，又因为，，故，又因为，，故点位于的内部（含边界），因此点的轨迹为以为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，因此点的轨迹长为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______．【答案】【解析】因为点A到C的焦点的距离为8，所以点A到准线的距离为8，因为点A到y轴的距离为6，所以，即.故答案：.13.已知等差数列共有10项，前三项的和为6，后3项的和为，则的通项公式______;记，则的最大值为_______.【答案】①.②.64【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得，所以的通项公式为，则，则，其中，，因为，且，所以当或时，取得最大值，此时取得最大值为.故答案为：；.14.已知点，若圆上存在两点、，使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，故点在圆上或圆外，若点在圆上，此时，此时，显然在圆上存在点、，使得，符合题意；若点在圆外，则，如下图所示：过点作圆的切线，切点分别为、，则，由圆的几何性质可知，，由切线长定理可得，又因为，，故，所以，故，因为，所以，即，整理可得，解得，此时.综上所述，的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆经过两点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）求与圆关于直线对称的圆的方程.解：（1）依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为圆经过两点，所以，解得，所以圆的方程为，即.（2）由（1）知，圆的圆心为，半径为；设关于直线对称的点为，则的中点为，直线的斜率为；因为点关于直线对称，所以，即，解得，所以，所以与圆关于直线对称的圆的方程为.16.记为等比数列的前n项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）由，当时，，两式相减得，，即，因为数列为等比数列，所以数列的公比为，当时，，而，解得，所以.（2）由（1）知，，则，所以，则，两式相减得，，则.17.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，，过点且斜率为k的直线，与y轴相交于点E，与椭圆相交于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）当，求的面积；（3）若，求k的值．解：（1）因为椭圆的离心率为，，所以，所以，即椭圆的方程为.（2）由（1）可知，因为，所以直线方程为，即；联立，可得；设,则，，到直线的距离为.所以的面积为.（3）设，则，因为，所以，即.直线方程为，联立，可得；，解得.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，分别是棱上的动点.（1）当是棱的中点，证明：平面；（2）当，，且．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）当四棱锥的体积最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：连接，与交于点，连接，在矩形中，易知点是的中点，又因为点是的中点，故在中，是的中位线，故，又因为平面，平面，故平面.（2）（Ⅰ）解：过点作垂直于平面的直线，易知两两互相垂直，故可以为坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，则，因为，故，解得得.（Ⅱ）解：因为侧面底面，平面平面，，平面，故平面，因此四棱锥的高为，设四边形的面积为，则，故四棱锥的体积在四边形的面积最小时取到最小值，，，，，所以当四棱锥的体积最小时，，故，则，又，，设平面的一个法向量为，则有，即，取，则，则平面的一个法向量；设平面的一个法向量为，则有，即，得，取，则，则平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.19.已知动点与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数．记动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知点的坐标为，按照如下方式依次构造点；过作斜率为的直线与曲线C的右支交于点，令为关于y轴的对称点．记的坐标为．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）设为的面积，证明：对任意正整数n，．（1）解：由题意，得，整理得，则曲线C的方程为.（2）（Ⅰ）证明：由题意，，，，则，，所以，由于，作差得，则，因此数列是公比为3的等比数列.（Ⅱ）证明：由于，作差得，变形得，同理可得，由（Ⅰ）知数列是公比为3的等比数列，同时可得数列是公比为的等比数列，则，则，易知和是以为公共边的三角形，又因为，所以，因此点到底边的距离相等，从而，即.20.如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直