广东省江门市2026届高三上学期第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省江门市2026届高三上学期第二次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对A，因为，但，所以不成立，故A错误；对B，因为，但，所以不成立，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：D.2.2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，而数据从小到大为，所以该组数的分位数为其中第5个数据，即.故选：B.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，故，所以曲线在点处的切线斜率，故曲线在点处的切线方程为，即，故选：A.4.已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设为底面的中心，连接，因为为底面的中心，由正四棱台的性质可得平面，又平面，所以，在平面内的投影为，所以直线与平面所成的角为，因为，所以，故，因为正四棱台的高，所以，因，所以，故直线与平面所成的角为，故选：C.5.已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（）A.（8，12） B.（8，16） C.（4，6） D.（4，8）【答案】D【解析】已知的周长为16，而的周长，其中，因此：椭圆中满足，将代入可得：，解得.因此a的取值范围是(4,8).故选：D.6.已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（）A.向正北方向 B.向正南方向C.向西北方向 D.向东南方向【答案】A【解析】建立平面直角坐标系：则，得，则向量表示位移：向正北方向．故选：A.7.把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（）A.270种 B.540种 C.720种 D.360种【答案】D【解析】每个车间至少分配一名技术员且人数各不相同,故三个车间分配到技术员的人数为1，2，3，故共有种不同的分配方案.故选：D.8.已知的内角的对边分别为且，则面积的最大值为（）A. B.2C. D.2【答案】A【解析】已知，由正弦定理化简得：，代入得：，当且仅当“”时取等，由余弦定理可得：，，由同角三角函数关系可得：，则面积.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A.的实部等于的虚部B.的虚部等于的实部C.D.与在复平面内对应的点均不在第二象限【答案】AC【解析】，，，实部为2，虚部为1；，实部为，虚部为2；选项A：的实部等于2，的虚部等于2，的实部等于的虚部，故A正确；选项B：的虚部等于1，的实部等于，，的虚部不等于的实部，故B错误；选项C：，，故C正确；选项D：对应的点在第一象限，对应的点在第二象限，故D错误．故选：AC．10.甲参加游戏获得的积分的分布列为456780.10.30.3且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】依题意得，，，则，A项正确，，故B项正确；，故C项错误；故D项正确．故选：ABD.11.已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（）A.101 B.102C.103 D.104【答案】BCD【解析】因，则，因，则，则，即，令，则，因，则，则的值可能为.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为___________.【答案】【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，又其渐近线方程为，则，则，则的离心率为.故答案为：.13.函数的零点个数为___________．【答案】2【解析】的定义域为，函数的定义域为，求导得，令，则，解得，，，设，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；在处取得极大值，当时，，故；当时，，故；极大值为最大值，函数在从增至正极大值，穿过轴一次，有一个零点；在从正极大值递减至必穿过轴一次，有另一个零点，函数共有2个零点．故答案为：2．14.在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________．【答案】【解析】如图：在中，，，所以.取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.连接，因为，所以.又（）.所以，即.又平面，，所以平面.所以.所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，在中，，，,由.所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为．（1）求的方程；（2）若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求．解：（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为，所以，可得，故；（2）由（1）知，则直线，联立，所以，可得，显然，所以，，(横坐标分别为)，则.16.已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合．（1）求；（2）求函数在上的值域．解：（1）函数的最小正周期为，∴函数的最小正周期，即，又因为的图象与函数的图象重合，所以，又，所以，又，所以.（2），当时，，∴.17.如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心．（1）证明：平面．（2）若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度.（1）证明：如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，所以，，，平面，所以平面（2）解：由（1）可知平面，则是平面的一个法向量所以平面的一个法向量为，设，，则点到平面的距离，则，得或，直线与侧面没有交点，故舍去，所以，如图，直线与棱交于，所以点的轨迹是线段，,，.18.已知数列的前项和为．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前项和．（3）若，求的取值范围．（1）证明：因，则即，从而是等比数列；（2）解：由（1）是以为首项，公比为的等比数列.则，从而，两式相减可得：则；（3）解：由（2），，又，则.，当时，易得，当时，，.即，当时，，则为递增数列，则.即.19.已知函数．（1）讨论的单调性．（2）已知，函数，且仅有两个零点．①求的取值范围；②证明：的两个零点之积小于1．（1）解：由可知，对于方程，若，即或，①当时，有两个不等正实根，此时在上，在上，当，有两个不等负实根，此时在上，②若时，恒成立，此时在上，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）当时，，记，则，显然时，，时，