广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，其共轭复数为.故选：A.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.3.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（）A.解释变量和响应变量线性相关 B.相关系数C.决定系数 D.残差平方和等于1【答案】D【解析】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B正确。决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误故选：D.4.的展开式的中间一项是（）A.20 B. C. D.【答案】B【解析】由题意展开共有7项，中间一项是第4项，所以.故选：B.5.已知是异面直线，设平面满足，且，则这样的（）A.不存在 B.有且仅有1个C.有且仅有2个 D.有无数多个【答案】B【解析】在上任取一点作的平行线，因，则经过的平面只有1个，设为.则，又，则，从而，即这样的平面有且只有一个.故选：B.6.已知，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，则.故选：C.7.已知是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左､右焦点，直线的斜率为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆化成标准形式为，是椭圆左、右焦点，且，，若，则，解得，的面积.故选：D.8.设满足，则的值为（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】令，得：，令，得：，所以，从而得：.故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.【答案】ACD【解析】由题可得，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，又，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.10.已知函数，函数是奇函数，则（）A.B.有两个零点C.不等式的解集为D.曲线在点处的切线与曲线有三个公共点【答案】BC【解析】，函数是奇函数，，解得，，故A错误；令，即，解得或，所以有两个不同的零点，故B正确；解不等式，即，移项得，即，或，解得或，所以，不等式的解集为，故C正确；，则，则切线方程为，即，联立，得，即，解得，所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误．故选：BC．11.在正三棱柱中，分别是侧棱上的点，，则（）A.平面与平面的夹角的余弦值为B.直线与平面所成角的正切值为C.在侧棱上存在唯一的一点，使D.若棱柱的外接球半径，则【答案】ACD【解析】取的中点，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，所以，对于A，易知平面的一个法向量为，，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为，故A正确；对于B：易知是平面的一个法向量，又，设直线与平面所成的角为，则，所以，所以，故B错误；对于C，假设在侧棱上存在点，使，设，又，所以，所以，又，解得，所以侧棱上存在唯一的一点，使，故C正确；对于D，棱柱的外接球半径，则，即，所以，则，，所以，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进___________千克的苹果．【答案】99.5【解析】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117，故第80百分位数：.故答案为：99.5.13.如图，以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰相切于双曲线的一个焦点，且与轴交于、两点.若为正三角形，则该双曲线的离心率为______.【答案】【解析】因为与轴相切于双曲线的焦点，所以，，点到轴的距离为.从而，正的边长为，边上的高为.由.解得，即双曲线的离心率为.14.把1到37这37个整数排成一个数列，其前项和为，已知，且对于任意的，都有能被整除，则__________．【答案】【解析】，任意的，都有能被整除，能被整除，是质数，或，又数列是到的排列，，所以，故，能被整除，，也能被整除，，的正因数有，且，，．故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为.（1）从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由；（2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.（3）根据上述结果，能得出什么结论？解：（1）与不相互独立，理由如下：已知，，所以；因为；所以，所以与不相互独立.（2）设为“每天玩手机不超过1小时”，则所以即，所以.（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联.16.已知函数.（1）求在上的单调递增区间；（2）设分别是内角的对边，若，成等比数列，求证：成等比数列，并求公比的取值范围.解：（1）.由，可得.因为，当时，；当时，；所以在上的单调递增区间为.（2）由（1）知，则，，.因，成等比数列，则，即，也即，由正弦定理得，所以成等比数列，因，则，由余弦定理，可得，因为，所以，即.解得，所以公比的取值范围是.17.已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点.（1）求证：；（2）求的最小值.（1）证明：抛物线的焦点为，准线，顶点，设因为直线过点；所以，即即，因为，所以；直线AO的方程为，代入准线，得；因为，所以，所以，所以点与的纵坐标相同，因此BP方程为，与准线垂直，所以.（2）解：令，则，则；所以所以；当且仅当时取等，有最小值9.18.已知矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，如图所示.（1）证明：不存在某个位置，使；（2）设点为线段的中点，①判断线段的长是否为定值，并说明理由；②当平面与平面的夹角为时，求异面直线与所成角的余弦值.（1）证明：假设存在某个位置，使.因为在矩形中，为的中点，.所以，则都是等腰直角三角形，所以，那么，即.若，且平面，可得平面，又因为平面，所以，这与是由翻折而成，矛盾，所以不存在某个位置，使.（2）解：①线段的长为定值，理由如下：取的中点，连接，因为为线段的中点，为的中点，所以，且，又因为，所以.在矩形中，为的中点，，则.所以，因为，所以.在中，，根据余弦定理得，所以，为定值.②取中点为，连接.因为是等腰直角三角形，所以，.而，所以，所以为平面与平面的夹角，因为平面与平面的夹角为，所以.在中，根据余弦定理得.在中，根据余弦定理得.取的中点为，连接.在中，根据余弦定理得.因为，所以.所以四边形为平行四边形，所以.所以异面直线与所成角即为与所成的角，即.由①知，所以.在中，根据余弦定理得.故异面直线与所成角的余弦值为.19.某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意与任意，总有成立.（1）设，求证：；（2）设，求证：；（3）某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中均为正数.证明：（1）因为，所以，，所以，因为，所以，即，所以.（