广东省上进联考2025-2026学年高一上学期期中调研测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省上进联考2025-2026学年高一上学期期中调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命题“，”的否定为：“，”，故选：B.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，，，不是的子集，C正确，ABD错误.故选：C.3.若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，，代入点得，解得.则，则，即，即，解得.故选：A.4.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得或，，故或由图可知阴影部分表示的集合为.故选：D.5.“关于的方程的解集为”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：当且时，方程的解集为，但此时，不满足，故充分性不成立；必要性：当时，二次函数恒正，方程无解，因此的解集为，故必要性成立；故选：B.6.已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（）A.的值不确定 B.是奇函数C.是偶函数 D.【答案】B【解析】对于A：设，，则，所以，故A不正确；对于B：设

，，则方程：，结合，即得，所以是奇函数，故B正确；对于CD：取，满足，不是偶函数，，，不满足，故CD错误.故选：B.7.对任意，将不大于的正整数中与互质的数的个数记作，且称为欧拉函数．对于，给出下列命题：①；②；③若为质数，则；④若，是互质的正整数，则，其中正确命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】命题①：.不大于6的正整数有1，2，3，4，5，6，与6互质的数有1和5，共2个，故，该命题错误；命题②：.取：（不大于2的正整数中，只有1与2互质），（不大于1的正整数中，只有1与1互质，故)，，不相等，该命题不恒成立，错误；命题③：若为质数，则.当为质数时，所有小于的正整数（1至)均与互质（因为质数无除1和自身外的因数），故成立，该命题正确；命题④：若，是互质的正整数，则.取：，是互质的正整数，，，，（互质数有1，5），，相等而非小于，故该命题错误.综上，正确命题只有③，共1个.故选：A.8.若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】作出的大致图象如下：当时，令，则，若，则在区间的最小值为，最大值为，此时在区间的最大值一定大于，不符合题意，舍去，若，则在区间的最小值为，最大值为，要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足，此时，若时，在区间的最小值为，最大值为，要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足，此时，则，若，则在区间的最小值为，最大值为，要使在区间的最大值为1，最小值为0，则需满足，此时，当时，在区间的最小值为，此时在区间的最小值一定大于0，不符合题意，舍去，综上可知：的范围为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各组函数中是同一函数的有（）A.，B.，C.，D.，，，【答案】BD【解析】对于A，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是同一个函数，A错误；对于B，两个函数的定义域均为，且对应关系相同，故是同一个函数，B正确，对于C，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是同一个函数，C错误，对于D，由于两个函数的定义域相同，且，故对应关系相同，因此为同一函数，故D正确，故选：BD.10.若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（）A.B.的图象可能关于某条直线对称C.D.若时，，则时，【答案】ABD【解析】对于A，由奇函数的定义可知，，即，故A正确；对于B，设，这是奇函数，且关于直线对称，故B正确；对于C，由A可知，故，此时的分母无意义，故C错误；对于D，当时，，由时，，现在，所以，即，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知集合为至少有2个元素的有限数集，集合为非空数集，且．记中最大的元素为，对及，当时恒有，则（）A.存在，，对，恒有B.当，时，的取值范围为C.当，时，的取值范围为D.当，时，的取值范围为或【答案】AC【解析】对于A，当，时，显然符合题意，故A正确；对于B，因为，所以，根据题意，，，得，所以，得，又，所以且且，综上：，故B错误；对于C，因为，所以，根据题意，且，，即方程的根都大于2，令，则，解得，又集合N为非空数集，且，所以判别式为且，解得且，综上：a的取值范围为，故C正确；对于D，因为，所以，因为，即，根据基本不等式可知：，因为，所以，解得，还需满足及，当时恒有，显然上式已满足，又因为故的取值范围为或或，故D错误；故选：AC.三、填空题[本题共3小题，每小题5分、共15分．12.已知函数，则_____．【答案】6【解析】，故，故答案为：6.13.为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为___________元（用含的式子表示）【答案】【解析】由题意得总电费为，则每公里的平均电费为.故答案为：.14.已知正数，，满足，则的最小值为_____；的最小值为_____【答案】1；2【解析】对于空①：，当且仅当时取等号，所以的最小值为；对于空②：记，先固定，，由基本不等式的性质知，，当且仅当时去等号，取到相对于固定的时的最大值.因为，所以.表达式变为：，设，则，，，，设.由二次函数的性质知当且仅当时取得最大值.因此的最小值为.由，即，，，所以.故答案为：1；2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合由不大于6的正偶数组成．（1）用列举法表示集合，并写出的所有子集；（2）若，且，求的值．解：（1）由题意得，其子集为.（2）由集合元素的互异性可知，，解得且，当时，，此时，不合题意舍去；当时，，此时，满足题意.综上，.16.（1）若，解关于的不等式；（2）已知，，证明：．解：（1）由于，故，且，故不等式等价于，解得，故不等式的解为.（2），由于，，故，当且仅当时取到等号，故，故，进而，因此，故，当且仅当时取到等号.17.已知函数．（1）用定义证明在区间上单调递增；（2）若在区间上的值域为，求、的值．解：（1）任取、且，即，所以，因为，则，，所以，即，故函数在区间上单调递增.（2）由二次函数的单调性可知，函数的增区间为，减区间为，当时，函数在区间上单调递增，此时，，又因为，解得，；当时，函数在区间上单调递减，此时①，②，①②得，因为，则，整理可得，则③，将③代入①可得，即，，无解；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，矛盾.综上所述，，.18.已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为．（1）求；（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围；（3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围．解：（1）若，为真命题，则，，故，由于,故，当且仅当时取到等号，故，即，故，（2）要使在区间上单调递增，则需满足，解得，故，或，要使“”是“”的必要条件，故或，故或（3）“”是“恒成立”的充分条件，即“或”是“恒成立”的充分条件，若对称轴，则，此时不成立，故舍去，若对称轴，则，此时不成立，故舍去，因此只需考虑或，解得.19.已知函数．（1）证明：是奇函数；（2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域；（3）求在区间上的最小值．解：（1）由，得到，又，则，所以，其定义域