广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线经过点和点，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设的倾斜角为，则由题可得直线斜率为.故选：C.2.已知向量，若向量与垂直，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由题意向量，因为向量与垂直，所以.故选：B.3.记函数的导函数为，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由函数得导函数，所以.故选：A.4.记为等差数列的前项和，若，且，则（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，则，所以.故选：C.5.已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线，所以，则，又，所以，则渐近线方程为．故选：A.6.在等比数列中，已知，且，若，记数列的前项和为，则（）A.127 B.255 C.511 D.1023【答案】D【解析】数列是等比数列，故，设等比数列的公比为q，则由得，即，即，解得，所以，所以，所以.故选：D

.7.在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，所以直线的单位方向向量为，所以点到直线的距离为.故选：D8.设为曲线的焦点，为上的动点，过点的直线与相交于两点，记线段的中点为，则最小值为（）A. B. C.5 D.7【答案】B【解析】由题可设过点的直线方程为，且，联立方程得，∴，∴，则，易知的焦点为，准线方程为，∴如图，过点P作垂直准线并交准线于点Q，则由图可知当且仅当三点共线时取得最小值为，即，所以当时，取得最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在棱长为1的正方体中，分别为线段的中点，设，则（）A.B.可以作为空间中的一组基底C.若，则四点共面D.【答案】BC【解析】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，因为分别为棱的中点，所以，，，对于A，由题意得，，则，可得不成立，故A错误，对于B，由题意得，，，则，，设，得到，此方程组无解，则可以作为空间中的一组基底，故B正确，对于C，因为，且，所以四点共面，故C正确，对于D，由题意得，，则不成立，故D错误.故选：BC.10.在数列中满足，若数列单调递增，且数列单调递减，则（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】，所以（舍去）或，所以或，因为数列单调递增，所以，故，故A正确；因为，数列单调递增，且数列单调递减，所以，故相邻两项，故B正确；因为，，所以，故C错误；因为，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知圆，直线，动点在上，且动点在圆上，则（）A.圆心在一条定直线上B.若的最小值恰为，则C.当时，被圆截得的弦长可以为D.若，则【答案】ABD【解析】对于选项A，圆的标准方程为，，所以圆心，圆心定直线上，选项A正确；对于选项B，若的最小值恰为，则到的距离为，∴，解得，选项B正确．对于选项C，当时，到直线的距离为，此时，若被圆截得的弦长为，则，即，∵，∴不可能成立，选项C错误：对于选项D，当和圆有公共点时，即，解得，此时显然存在动点使得，当和圆没有公共点时，易知，欲使最大，则需与圆相切于，且与圆相切于，如图所示，显然，当时，最短，即最大，∴也最大，即最大，若，则，解得，∴，解得或，综上所述，，选项D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线，若，则__________．【答案】2【解析】直线即，若，则.故答案为：2.13.若直线与椭圆交于两点，且，则的离心率为__________．【答案】或【解析】将代入椭圆得.所以，即，所以，则的离心率为.故答案为：.14.已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________.【答案】①.1②.【解析】由题可知，∴，令，又，∴，∴，∴；∵，∴，且，∵，且由，及，可知，∴令函数，则，且易知为单调递减函数，∴，即，易知，∴的取值范围为．故答案为：1；.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程．解：（1）易知，所以切线斜率为∴函数在点处的切线方程为，即.（2）由题，∴，设切点为，∴切线方程为，又切线过点，∴，即，解得或，当时，切线方程为，即；当时，切线方程为，即，∴的方程为，或．16.已知过点的直线与抛物线交于两点，且．（1）求的值；（2）点的坐标为，且，求的方程．解：（1）显然直线的斜率非零，不妨设的方程为，联立整理得，易知，设，∴，∴，∴．（2）由（1）得，则，∴，∴．此时的方程为，即．17.如图，在四棱锥中，平面．（1）证明：；（2）若均在球的球面上，且球的表面积为．（i）求的长；（ii）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：如图所示，取的中点，连接，∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴为正三角形，即有，在等腰梯形中，，则，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）（i）解：∵，∴为等边三角形，∴，即为四边形外接圆的圆心，∴为的外接圆圆心，半径，且平面，∵平面，∴，且，∴球的半径，∵，∴，∴，∴．（ii）解：方法一：过作于，∵平面，∴平面，又∵平面，∴，∴为二面角的平面角，∵，∴二面角的平面角的余弦值为，∴平面与平面夹角的余弦值为．方法二：如图所示，建立以为坐标原点，方向为轴正方向的空间直角坐标系，∴，∴，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，∴，∴，∴平面与平面夹角的余弦值为．18.记数列前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）证明：；（3）若，现将中的第项，第项，第项，…，第项移除，余下的项按原顺序组成一个新的数列，记的前项和为．已知任意，求实数的最小值．（1）解：当时，，当时，，①又，②由②①可得，即，③当时，亦满足③式，∴．（2）证明：由得，即数列为公比为2的等比数列，所以，∴，∵当时，，∴，∴，∴．（3）解：由题意可得数列为…，∴数列的奇数项构成以6为首项，公比为8的等比数列；偶数项构成以12为首项，公比为8等比数列，易知，且，∴，∴，∴，∵，∴，∴若任意，即，∴，即的最小值为．19.已知椭圆的焦距为4，且的离心率为．（1）求的标准方程；（2）设的右焦点为，经过点且斜率非零的直线与交于两点，且在线段上．（i）证明：直线的斜率之和为0；（ii）若，求直线的斜率．（1）解：由已知得，∴，的方程为．（2）（i）证明：由（1）可知，设，由得，∵，∴或，∴直线