广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B.C D.【答案】D【解析】由题意得，根据空间直角坐标系，可得点关于轴对称的点的坐标是，故选D．2.已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由直线的一个方向向量，得的斜率，又在y轴上的截距为，所以的方程为，即．故选：C．3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】选项A：，存在线性组合，共面；选项B：，存在线性组合，共面；选项C：假设，则，由不共面得：，无解，故不存在线性组合，不共面；选项D：，存在线性组合，共面.故选：C.4.若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的离心率为，所以，则它的渐近线方程为.故选：D.5.若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（）A.2 B.3 C. D.3【答案】C【解析】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为，因为点到其焦点的距离为，根据抛物线定义，可得点到准线的距离为，即，解得，所以，因为，所以.故选：C.6.在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，所以，，所以，所以异面直线，所成角的余弦值为故选：B.7.已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】椭圆：，，所以椭圆的上顶点为，右焦点为，直线的斜率为,因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同，设直线的方程为，即因为上有且仅有三个点到的距离为，说明椭圆与直线的距离为的平行线中，一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况）.设与平行且距离为的直线为，根据两平行线距离公式：，化简得，即，联立，消元整理得，因为直线与椭圆相切，所以，解得，当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为.当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为.当时，结合，有，解得（取号）.此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意.当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意；故或满足题意；故选：D.8.已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线过定点，直线过定点，因为两直线始终保持相互垂直，因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示：由于不包含直线，不包含直线，所以点轨迹不经过点，圆上的点到点距离最大值为，此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量，，则（）A. B.C. D.与夹角的余弦值为【答案】BC【解析】因为，，所以，因为，所以向量与不共线，故选项A不正确；因为，，所以，故选项B正确；因为，所以，即，故选项C正确；因为，故选项D错误.故选：BC.10.已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（）A.点的纵坐标为 B.△的周长为C.△的内切圆半径为 D.大于【答案】BC【解析】因为双曲线，所以，，；则，，故．因为，代入，，所以，解得，故选项A错误；将代入双曲线方程中，解得，故；因为，，所以，则△的周长为，故选项B正确；因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，得，所以，解得，故选项C正确；根据余弦定理，，因为，，且余弦在单调递减，所以，故选项D错误．故选：BC．11.记各项为正数的数列的前项积为，，（），则（）A.若，则B当时，C.可能为等比数列，亦可能为等差数列D.若数列为等差数列，则，或【答案】ACD【解析】对于选项A：由，，当时，，即；当时，，即，∵，即，即，故A正确；对于选项B：当时，，当时，，则，即；当时，，则，即，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，即，则，故B错误；对于选项C，当，时，，此时满足，，此时数列既是等比数列，也是等差数列，故C正确；对于选项D：由，，得，当时，，则，即，，则，若数列等差数列，则为常数，若，则恒成立，即恒成立，则；若，则，解得，综上所述，，或，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆：，：，若与外切，则_____________.【答案】【解析】圆：，配方得：，圆心为，半径为；圆：，圆心为，半径为；两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，圆心距为，所以，解得.故答案为：.13.已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和________________.【答案】【解析】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，依次为，数列是以为首项，以为公差的等差数列，依次为，这两个数列的公共项所构成的新数列依次为，可知数列是以首项为0，公差为1的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.14.记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_____________．【答案】【解析】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为，由椭圆的对称性易知，∴，即，①当点在上顶点位置时（临界位置一），在中，由余弦定理得：，②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二），满足条件的点有四个，不妨取，如图，∴，则由椭圆定义可知，在△中，由余弦定理的推论可知，∴，解得，即，∴的离心率的取值范围亦为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在平面直角坐标系中点与点均在圆上.（1）求线段的垂直平分线方程；（2）若圆心在直线上，且过点的直线被圆截得的弦长为，求的方程.解：（1）由，，则的中点为，，则线段的垂直平分线的斜率为，∴的垂直平分线方程为：，即.（2）由题可知圆圆心为两条直线：，的交点，联立，解得，即，则，又直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离，①当直线斜率不存在时，此时直线方程为，此时圆心与直线的距离为，符合题意；②当直线斜率存在时，设直线方程为，则，解得，∴此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.16.已知数列为等比数列，，且，，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和.解：（1）∵，，成等差数列，∴，又为等比数列，设公比为，∴，解得，或，当时，；当时，；综上所述，，或.（2）由题意，可知，∴∴，，.17.如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.（1）证明：平面平面；（2）点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）取的中点，连接，，在中，，，则，，因为，，平面，可得平面，且平面，则，在中，，在中，，可知，且平面，，可得平面，且平面，所以平面平面.（2）由（1）可知：，，，如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，可得，，，，设，，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设与平面所成角为，则，解得，即，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知，，且，且．（1）若数列为等比数列，求的值；（2）当时，（i）求数列的通项公式；（ii）设，记数列的前项和为，证明：．（1）解：方法一：∵为等比数列，∴，，∴．方法二：∵为等比数列，∴，，成等比数列，∴，∴，即，∴，∵，∴，检验如下，若，则有，∴．（2）（i）解：当时，得，∴，也即，当时，易知；当时，，即，也即，又，不满足上式，∴的通项公式为．（ii）证明：由（i）可知，，∴，∴，又，∴是递增数列，即，又∵，∴，且n趋向于无穷大时，趋向于0，趋向于1，所以，综上所述，．19.已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点.（1）求的值及的准线方程；（2）设直线分别与直线，轴的交于点，（，不重合），且.（i）证明：存在定点，使得为定值；（ii）求的最小值.（1）解：因为过点，所以，解得，所以的准线方程为.（2）（i）证明：设，，所以，，由题可知，直线的斜率不为，设切线的方程为，联立方程，整理得，令，得，即，所以，则切线的方程为，整理得切线，同理可得切线，设两切线交于点，则，所以切点弦的方程为，直线方程为，由，且，不重合可知，因为直线斜率为，直线斜率为，，所以，解得