广东省湛江市2026届高三上学期普通高考测试(一)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省湛江市2026届高三上学期普通高考测试(一)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解可得，所以，所以.故选：D．2.设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，在复平面内的点关于实轴对称，；.故选：B.3.设为单位向量，且，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】因为为单位向量，所以，因为，平方得，即，所以，即.故选：B．4.若是函数的两个相邻的零点，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由题意得，故，因为，所以，故选：A．5.某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（）A.120 B.96 C.48 D.24【答案】C【解析】先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法，最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种，由分步计数原理，可得取法种数为.故选：C．6.在数列中，，令，则数列的前15项的和为（）A.2 B.3 C. D.4【答案】B【解析】因为，所以，即，故为首项是，公差为的等差数列，所以，．，所以数列的前项的和，故，故选：B．7.如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．可得，,设平面的一个法向量为，则，令得，故，其中，点C到平面的距离.故选：C．8.已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】原不等式等价于．若，则曲线必然有一部分位于直线的上方，与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除）．所以上述不等式等价于，设函数，直线．经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，要想恒成立，需满足在函数上方或在上且与相切于此点，可得，由此即可得，显然等号成立时，在上，即直线l与相切于点，又的斜率为，，故，解得，此时，所以的最大值为.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（）A.极差变大 B.平均数变大C.中位数变小 D.分位数变大【答案】BD【解析】由题意，去掉后，极差为，极差变小，故A错误；平均数，所以平均数变大，故B正确；原数据和新数据的中位数分别为，且，故中位数变大，故C错误；原数据的分位数：，取第5个数，新数据的分位数：，取第4、5个数的平均，因为，所以，故分位数变大，故D正确.故选：BD．10.已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】为奇函数，为偶函数，，，令，则，解得，是偶函数，，选项A正确；，且，，故的周期，，但的值不确定，故选项B不一定正确；是偶函数，，，即，为奇函数，故，故选项C正确；令，则，，为奇函数，满足题设条件；，，故D不一定正确；故选：AC．11.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的离心率为B.存在点P，使得为等腰直角三角形C.当时，直线与双曲线C一定有两个交点D.的最大值为【答案】ACD【解析】渐近线互相垂直，，解得，即，两条直线的斜率分别为1和，双曲线C的离心率为，选项A正确；点P是双曲线C右支上任意一点，，若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾；直角顶点为，故且有，，，解得，故或，，，，无法构成等腰直角三角形，故B错误；联立直线与双曲线，整理得，当时，，，直线与双曲线有2个交点，故C正确；根据双曲线的定义可知，，的最小值为，，的最大值为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则________．【答案】【解析】因为正切函数的最小正周期是，所以，解得，所以．故答案为：.13.已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________．【答案】【解析】抛物线，即，焦点坐标，准线方程，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则，过点作直线的垂线，垂足为，故点到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即.故答案为：.14.某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是________．【答案】【解析】设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，通过题意可得，，计算可得，则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，是的中点，．（1）当时，求的值；（2）求的面积S．解：（1）设，则，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，故，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．所以.（2）设，在和中，由余弦定理得，即，，得，所以，所以所以．16.某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．解：（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．由题意得，因为，所以．设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，根据题意可得，由此可得．（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，所以．令，设函数，．当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，综上，的概率，其最大值．解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，则可得，则有，从而可得．令，设函数，．当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，综上，的概率，其最大值为．17.如图，在四棱锥中，平面，且=．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点．（1）证明：平面；（2）求的值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：如图，设的中点为M，连接．在中，点G为中点，M为中点，，且．根据条件可得，且，且，四边形为平行四边形，．又平面平面平面．（2）解：平面，平面，平面平面，．又，，．又，．（3）解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，可得．设平面的法向量为，则即令，可得．易得平面的一个法向量为，故平面与平面夹角的余弦值为．18.已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：三点共线；（3）试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．（1）解：设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有．又，即，结合以上两式可得，当且仅当三点共线时取等号，点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故．又，解得，故，∴椭圆的方程为．（2）证明：依题意可设直线的方程为，代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根．设，则故直线的方程为，令，可得．又，．，故三点共线．（3）解：是．由（2）易得，直线的方程为，令可得．设为以为直径的圆上一点，则有，即，由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上令，得，，∴以为直径的圆恒过两定点．19.已知，设与的图象位于第一象限的交点为．（1）求的最大值；（2）证明：；（3）证明：．（1）解：由，函数的定义域为R，，所