广西柳州市2026届高三上学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西柳州市2026届高三上学期二模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为，所以在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.2.样本数据10，12，15，16，22，26，27，34的第分位数是（）A.26 B.25 C.24 D.22【答案】D【解析】从小到大排列的样本数据10，12，15，16，22，26，27，34，共8个数据，因为，所以数据的第分位数是第五个数据值.故选：D.3.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得到，所以，所以.故选：B.4.准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为抛物线准线方程为，所以可设抛物线的标准方程为，则，即，所以抛物线的标准方程为.故选：C.5.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A：当时，，所以不正确；B：，因为，，所以当时，，当时，，当时，，因此不正确；C：因为，，所以有，正确；D：因为，，所以有，即，所以不正确.故选：C.6.设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值，则，解得，所以的最小值是.故选：B.7.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B.8.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】设点到平面的距离为，根据正方体的性质可知：点到平面的距离为，因为，所以，由正方体可得，所以，解得，所以点到平面的距离为，又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米，所以点到平面的距离为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A选项，已知，，则，A错误；B选项，，B正确；C选项，，所以，C正确；D选项，，D错误；故选：BC.10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则（）.A.该圆锥的侧面积为 B.该圆锥的体积为C. D.的面积为8【答案】BCD【解析】如图，取中点，则，平面，平面，由二面角定义可知，，又，所以，在中，，所以，，所以，，C正确；所以，D正确，，A错误；，故B正确.故选：BCD.11.已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，，过点作交于点，过点作交于点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】设，且，又，，则，则，故B正确；直线，直线，联立，得，联立，得，则，又，所以，故A正确；直线，直线，联立，得，则，联立，得，则，设，因为，所以，则，因为四边形为平行四边形，所以，，故，故C错误；，等号成立时，故，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为_____.【答案】【解析】因为直线的一个方向向量为，所以斜率，设倾斜角为，则，所以.故答案为：.13.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；【答案】【解析】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：．14.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为__________.【答案】5【解析】令，则或，由，当时，在上没有零点，则在上应有3个零点，因为，所以，即，与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；当时，在上有1个零点，而在上有3个零点，不满足题意；当时，在上有2个零点，故在上应有1个零点，因为，所以该零点与的零点不相同，所以，即，与联立得，因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5．故答案是：5．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为.由题意可得，解得，，则.（2）由（1）可知，则，故.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，记的极小值为，证明：.（1）解：当时，，所以的定义域为，，，所以，即在点处的切线斜率为.由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由知的定义域为，且.①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意.②当时，若，则，所以在上单调递减；若，则，所以在上单调递增，所以有极小值，且极小值为，所以.要证，即，只需证.令，则，由复合函数的单调性知在上单调递增，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在时取得极小值，也是最小值，所以，即，即.17.如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，，，，，由余弦定理可得.满足，所以，即.因为平面平面，且交线为，由，平面，得平面.由平面，得，.因为，，且，平面，所以平面.由平面，得.设，，有，解得：，即.所以，满足，即.又因为，，且，平面，所以平面.由平面，得.（2）解：以为坐标原点，分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.，，，，.设平面的法向量，由，即，取，得到平面的一个法向量.又，设直线与平面所成角的大小为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点.（1）求椭圆的方程；（2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点.（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值；（ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.（1）解：因为点的坐标为，且为的中点，所以，即.又离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）（i）证明：因为直线过点，可设直线的方程为，，由消去得.所以，.因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以.，将，代入得，即为定值.（ii）解：是定值.因为，由两点式可得直线的方程为；因为，，由两点式可得直线的方程为.因为直线，交于点，所以，将代入得，整理得.由得，所以.同理，直线的方程为，直线的方程为，联立可解得，因此，所以直线垂直于轴，以为直径的圆的圆心为，半径，所以圆的方程为，令，可得.将代入直线的方程得，同理得.则.将代入得，所以，解得，故弦长为，是定值，即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为.19.某中学手工社团每周开展劳动实践活动，制作并展示手工艺品，社团每周需要准备一定数量的手工材料包（如陶土、布料等）.根据过往活动记录，发现参与活动的学生对手工材料包的需求量相对稳定，每周对手工材料包的不同需求量（单位：份）及对应概率如下表：需求量（份）0123概率若以手工材料包的库存作为供给量，为了减少资源浪费，每周末社团会清点材料库存：若手工材料包全部被领用，则在周末及时采购2份新材料包，只要手工材料包还有1个存货，就不采购新的材料包.记为第周开始时社团的材料包供给量，假设.（1）求的分布列；（2）记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为.（i）求该材料包的定常态分布；（ii）从长远来看，求该材料包需求量大于供给量的概率.解：（1）当第一周需求量为0时，，此情况概率为；当第一周需求量为1时，，此情况概率为；当第一周需求量为2时，，此情况概率为；当第一周需求量为3时，因为供给量只有2份，全部领完，，此情况概率为；所以.当时，若第二周需求量为0，则，概率为；若第二周需求量为1，则，概率为；若第二周需求量为2，则，概率为；若第二周需求量为3，则，概率为；当时，若第二周需求量为