广东省2026届高三上学期第二次调研考试（12月）数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省2026届高三上学期第二次调研考试（12月）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，复平面内表示复数的点在直线上，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去．显然公共汽车的速度比自行车快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间假设是固定不变的）．在任何情况下，他总是选择花时间最少的最佳方案．下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间．则他离住地8千米的地方，需要的时间为（）目的地目的地离住地的距离最佳方案所需时间甲地2千米12分钟乙地4千米18分钟丙地6千米22分钟A.24分钟 B.26分钟 C.28分钟 D.30分钟5.已知向量在向量上的投影向量为，，则（）A. B. C. D.36.已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（）A.30 B.32 C.42 D.467.已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（）A. B. C. D.8.单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（）A.42 B.49 C.56 D.64二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（）A.的平均数为B.的方差为C.若，则D.若，则10.如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（）A.，，，四点共面B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为D.异面直线与所成角为11.双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作切线与轴交于点，直线与的两条渐近线分别交于点，，满足，则（）A. B.满足条件的点有2个C. D.点为外接圆圆心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则________．13.已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____．14.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．

16.某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变．（1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；（2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率．

17.如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心．（1）证明：平面平面；（2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度．

18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，证明：函数有3个零点；（3）当时，对任意的，满足，证明：．

19.已知椭圆，为坐标原点，