广东湛江市2025-2026学年度高二第一学期期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东湛江市2025-2026学年度高二第一学期期末调研考试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，且，则，解得，所以，故，故，故选：B.2.圆与的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.内含【答案】A【解析】由，得，所以圆的圆心，半径，由，得，所以圆的圆心，半径，所以，所以两圆内切，故选：A.3.方程等价于（）A. B.C D.【答案】C【解析】方程，表示点到两个定点和的距离之和为常数，这满足椭圆的定义，其中焦点为和，得，，因此椭圆方程为：.故选：C.4.在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】解：因为点M在线段上，且，N为中点，所以,故选：D.5.已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为,半径为，直线：，直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径,即，即，故，即,解得.设直线倾斜角为,则,所以.因为，所以,所以直线的倾斜角的取值范围是.故选:C.6.已知，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得,，则，，在上的投影向量为，故选：C.7.已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（）A. B.12 C.11 D.10【答案】B【解析】抛物线方程的标准形式为，所以焦点，准线方程为，延长交准线于，连接，如图：根据抛物线的定义得，当且仅当三点共线时，，的最小值为.故选：B．8.已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】双曲线，右顶点，不妨取渐近线方程为，因为，，所以为等边三角形，所以，在正三角形中，点A到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式，化简得，所以，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，则下列结论正确的有（）A.的取值范围为B.若，则点在圆内C.若，则直线与圆相离D.若，圆关于直线对称的圆的方程为【答案】ABD【解析】，圆心，半径，对于A：因为，所以，故正确；对于B：因为，，所以，所以点在圆内，故正确；对于C：当时，，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，故错误；对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆，所以圆的方程为，故正确；故选：ABD.10.已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（）A.实数的取值范围是B.若椭圆的焦点在轴上，则C.若，则周长为D.若，则的面积为【答案】BC【解析】对于A选项，因为方程表示椭圆，所以且，故A错误；对于B选项，椭圆的焦点在轴上，则，即，又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，故B正确；对于C选项，若，则椭圆，焦点在轴上，所以，，，所以，，所以周长为，根据椭圆的定义及性质，可得，，所以周长为，故C正确；对于D选项，若，则椭圆，焦点在轴上，所以，，，所以，，根据椭圆的定义及性质，可得，，又，在中，根据余弦定理可得，，即，所以，解得，与矛盾，所以不存在，故D错误.故选：BC.11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（）A.异面直线与所成的角大小为B.二面角的平面角的余弦值为C.此八面体的外接球的体积是D.此八面体的内切球的表面积为【答案】ACD【解析】连接交于O，连接，由正方形得，八面体各面是正三角形，根据对称性可知三点共线且平面，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，对于A，，设异面直线与所成角为，则，因为，所以，故A正确；对于B，，设面的一个法向量为，则，也即，取，则，设面BEC的一个法向量为，则，也即，取，则，所以，又面与面所成的角为钝角，故二面角的平面角的余弦值为，故B错误；对于C，由，且由对称性易知外接球球心为O，则外接球半径为，外接球体积为，故C正确；对于D，设内切球的半径为，则八面体的体积为，又因为八面体体积为，解得，所以内切球表面积为，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______．【答案】【解析】由题意可设点，由，，，得，化简得，即.故答案为：.13.在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，得到，所以点到直线距离为，故答案为：.14.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________．【答案】【解析】设，即，则，．故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.（1）证明：因为且所以平面因为平面所以因为为中点所以，且所以平面.（2）解：如图，以为轴建立，因为，因为，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，即，设点到平面的距离为，即，所以点到平面的距离为.16.在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、.（1）求边的高线的直线方程；（2）求边垂直平分线的直线方程；（3）求的外接圆方程.解：（1）因为，且，故直线的斜率为，因为经过，所以直线的方程为，即.（2）因为线段的中点，且，，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（3）设的外接圆的方程为，因为，解得，所以的外接圆方程为.17.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，已知.（1）求抛物线的标准方程；（2）经过抛物线焦点的任意直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于轴.解：（1）设方程为联立化简得，则，所以，故，所以抛物线方程为.（2）易知过焦点交抛物线的直线斜率不为0，设，设，因为，由韦达定理得，设方程为：，令，则可得点纵坐标，因为在抛物线上，所以，则，因为，所以平行于轴.18.已知椭圆左右顶点分别为，右焦点为，已知，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值.（1）解：由题意，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：如图，由（1）得，设，则，即.直线，直线，即，以为直径的圆的方程为，即圆的方程为，求被轴截得的弦长，可以令，则，则，又因为，则，则，或，则以为直径的圆被轴截得的弦长为.19.如图，在五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：取的中点，连接，由，得四边形为平行四边形，则，同理得，因此，则，即