广西2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西2025-2026学年高二上学期数学期末试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项正确答案）1.若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，则，又，故.故选：C.2.已知是等比数列，若，则公比为（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】由题意，则.故选：D.3.若直线和直线垂直，则的值是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由题意得，解得.故选：A.4.已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】因为，所以，因为是双曲线上的一点，所以，即，解得（舍去），或.故选：B.5.在等差数列中，为其前项的和，若，则为（）A.42 B.48 C.60 D.72【答案】A【解析】为等差数列，所以也为等差数列，因，所以，所以.故选：.6.在平行六面体中，，，则的长为（）A.10 B.12 C. D.【答案】C【解析】如下图，，所以，所以.故选：C.7.直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记曲线，由题意，，∴曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，记直线，即，∴直线过定点.如图所示：，当直线与曲线相切时，.由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，.故选：B.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，，设，则,由，得，解得，又双曲线上，所以，即，整理得，即，由解得.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.如果且，那么直线不经过第三象限B.若直线与平行，则与的距离为C.圆C：关于直线对称的圆方程为D.点为圆上任意一点，则的最大值为6【答案】ABC【解析】对于A，当时，直线等价于，由于且，所以直线的斜率，轴截距，即该直线经过第一、第二、第四象限，故A正确；对于B，由直线与平行，则，此时可化简直线与，再由平行线间距离公式得：，故B正确；对于C，由圆C：可得，圆心，设圆心关于直线的对称圆心为，则，解得，则对称圆的方程为，故C正确；对于D，由于可以看成动点到原点距离的平方，即可求圆心到原点的距离为，而圆的半径为，所以圆上的动点到原点的最大距离是，即的最大值是，故D错误；故选：ABC．10.椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（）A.的周长为8 B.椭圆的离心率为C.的长为 D.的面积为【答案】AD【解析】如图，由题意：为面积是的正三角形，故且，故；的周长为，故A正确；椭圆的离心率，故B错误；设，则，由知；由余弦定理：，所以，故C错误；，故D正确，故选：AD.11.如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变B.当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为C.使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为D.若F是的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的最小值为【答案】ABC【解析】选项A：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，正确；选项B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，设，则，设直线与所成角为，则，因为，则，当时，可得，所以；当时，，当且仅当，即时，等号成立，可知，且，所以；所以异面直线与所成角的取值范围是，正确；对于C：因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，因为最大，不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；对于D，由，设，则设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标______．【答案】2【解析】由题意得抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可知，，解得．13.已知数列的前项和公式为，则的通项公式__________.【答案】【解析】当时，；当时，，符合.所以.故答案为：.14.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______.【答案】【解析】设，，所以，又，所以.因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值为，当且仅当三点共线时取等.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为.（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.解：（1）令为线段的中点，又，则，又在圆上运动，故，所以，故点的轨迹方程为.（2）由（1）知圆心，且半径，所以圆心到的距离，所以直线与曲线相离.16.已知等差数列的前项和为，若且.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和.解：（1）由题意知：，.即：，化简得.所以数列通项公式.（2）因为所以，.化简得：.17.如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：由底面，底面，则，又，且均在面内，则平面；（2）证明：由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，故，若为面的一个法向量，则，令，则，而是面的一个法向量，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．（i）求证：为定值；（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．（1）解：设双曲线的方程为，因为双曲线的右焦点为，且过点，所以其中，解得双曲线的方程为．（2）（i）证明：设直线的方程为，由得，因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，所以得，即．（ii）证明：设直线的方程为，由得，，由，结合（i）可知，由，得，即，或，当时，直线过点，不符合题意，舍去，当时，直线的方程为，过定点．19.已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点．（i）若的面积为，求；（ii）设直线与交于点，证明：点在