贵州省遵义市2025-2026学年高二第一学期学科素养评价数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省遵义市2025-2026学年高二第一学期学科素养评价数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，所以，则.又因为或，则，所以故选：D.2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，又，，所以，解得故选：C.3.圆：与圆：的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内含【答案】A【解析】圆与圆的半径分别为2，1，圆心坐标分别为，，则，故圆与圆的位置关系是外离.故选：A.4.若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线，焦点为，准线为，设点，由抛物线的定义可得，，，解得，故B正确．故选：B．5.在平行四边形中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，即为的中点，所以与相交于点，又，，所以，，故.故选：B.6.已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（）A.5 B.6 C. D.【答案】A【解析】设由AB中点坐标为，则且，所以.又A，B两点在双曲线上，所以由相减可得，即，所以，即，解得，所以的斜率为.故选：A.7.在正三棱柱容器中，，，能够放入该三棱柱的球的最大半径为，将一些半径为的小球放入该三棱柱（球要全部进入三棱柱中），则放入的小球个数最多为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】在正三棱柱中，，，能够放入该三棱柱的球的最大半径为，则该球与正三棱柱的侧面相切，所以，解得，所以，因为，，所以将一些半径为的小球放入该三棱柱，则放入的小球个数最多为5个.故选：B.8.已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为直线：，变形为，令，解得，所以直线经过定点，且该点在圆内.如图：过原点O作，所以.所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故选：C.二、选择题：本题其3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（）A.的虚轴长为 B.C.的焦距为3 D.的渐近线方程为【答案】AB【解析】双曲线的标准方程为，则则虚轴长为，A正确；，B正确；焦距为，C错误；渐近线方程为，故D错误.故选：AB.10.已知点，则（）A.B.C.在上投影向量为D.点到直线的距离为【答案】ABD【解析】由点，得，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，因此在上的投影向量为，C错误；对于D，点到直线的距离为，D正确.故选：ABD.11.当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】A选项，得，得，在，上单调递增，故A正确；B选项，，得，而，故B错误；C选项，得，得，因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，则上单调递增，故C正确；D选项，得；得，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线与直线平行，则______．【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以，解得.故答案为：.13.已知复数的模为，且为纯虚数，请写出一个满足条件的复数：______．【答案】，（答案不唯一，只需即可）.【解析】设，则，，又为纯虚数，故，，联立可得，故，不妨令.故答案为：（答案不唯一，只需即可）.14.已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________.【答案】【解析】令双曲线的左焦点为，半焦距为，连接，由点关于原点对称，得四边形为平行四边形，则，不妨令点在第一象限，由，得，而，则，在中，由余弦定理得，因此，解得，所以的离心率为.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试.（1）求汽车两项功能测试都成功的概率；（2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率.解：（1）记事件成功完成“自动泊车”，事件成功完成“自动辅助变道”，事件相互独立，则，汽车两项功能测试都成功的事件为，所以汽车两项功能测试都成功的概率.（2）汽车恰有一项功能测试成功的事件为，因此，所以汽车恰有一项功能测试成功的概率为0.26.16.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为的直角三角形．（1）求的方程；（2）设直线：与交于，两点．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求四边形的面积．解：（1）因为是周长为的直角三角形，再由椭圆的定义可得，即.又因为为直角三角形，且为上顶点，所以为等腰直角三角形，故.又由，即，代入，解得.故的方程为.（2）（ⅰ）将直线：代入，消去x得，，.所以.（ⅱ）由（ⅰ）知，且与异号，所以..所以.所以四边形的面积为.17.如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，为的中点，点在线段上，且，．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）因为平面，，故以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，已知，则，，，，因为为的中点，所以点坐标为，即，又因为为的中点，所以点坐标为，即，因为为的中点，所以点坐标为，即，因为，所以，，则，所以点坐标为，则，平面的一个法向量为，因为，所以，又因为不在平面内，所以平面，（2）由（1）知，，设平面的法向量为，则，即令，则，，所以，因为，设直线与平面所成角为，因为，，，所以，因此，直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数（，）的最小正周期为，最大值为2．（1）求，；（2）求的单调递增区间；（3）已知的三个角，，的对边分别为，，，且，的角平分线，求的最小值．解：（1）因为函数的最小正周期为，最大值为2．，所以，，解得（2）由（1）可知，令，解得：，所以的单调增区间为.（3）因为，所以，结合，解得，由为角平分线，，，由面积法：.化简得，由余弦定理.设，则，代入得.由均值不等式（当且仅当时取等号）.在时单调递增，故时，最小，即的最小值为.19.已知抛物线：的准线方程为．（1）求的方程；（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的取值范围；（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上．（1）解：抛物线：的准线方程为，，解得，抛物线的方程为：（2）过点且斜率为的直线的方程为：，