河北省9+1联盟2026届高三上学期12月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省9+1联盟2026届高三上学期12月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可得：，故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，则，故选：A.3.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于，则C的焦距的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由双曲线可知渐近线方程为，若双曲线的两条渐近线的倾斜角均大于，则，即，可得C的焦距为，所以C的焦距的取值范围是.故选：D.4.已知平面向量均为单位向量，若，则（）A. B.C. D.5【答案】C【解析】因为，且，则，即，可得，又因为，则则，所以.故选：C.5.若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于函数，由可得，所以函数图象的对称中心为，又因为函数图象的对称中心也为，故函数图象的对称中心为，对于正弦型函数，由可得，故函数图象的对称中心为，故函数图象相邻对称中心间的距离为，易知函数图象相邻对称中心间的距离为，且原点为函数、的一个公共对称中心，因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，故存在，使得，解得，C选项合乎要求.故选：C.6.若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数过点，而点关于直线对称的点为，因为函数的图象关于直线对称，所以点在函数的图象上，则，即，则，设函数图象上的点关于点的对称点为，所以，所以，因为点在函数的图象上，所以，所以.故选：B.7.从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足的不同取法种数为（）A.13 B.14C.15 D.16【答案】B【解析】依题意，是第一象限，是第二象限，是第三象限，是第四象限，对于函数，当是第一、二象限角时，；当是第三、四象限角时，；对于函数，当是第一、四象限角时，；当是第二、三象限时，.要使，则需①且，或②且；所以当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；共有种不同取法.故选：B.8.已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E到平面的距离为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设平面与线段交于点，连接，又平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，则，所以，当与重合时，截面为，，不合题意；同理，与重合时，也不合题意；如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，，，，故，，，所以三棱台的体积，所以，化简整理得，解得，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知2019—2024年中国台球相关企业年注册量（单位:万家）依次为0.64，0.87，2.01，3.16，4.15，5.54，则下列结论正确的是（）A.这6个数据的极差为5.09B.这6个数据的中位数为2.585C.这6个数据的平均数大于2D.从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024年【答案】BC【解析】对于A，这6个数据的极差为，故A错误；对于B，，所以这6个数据的中位数为2.585，故B正确；对于C，这6个数据的平均数为，故C正确；对于D，2020到2024年的年注册量增长率依次为，，，，，所以从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2021年，故D错误.故选：BC.10.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.当时，B.当时，C.当时，可能成立D.当中有4个元素时，a的取值范围是【答案】AD【解析】对于A：当时，对于二次函数，则有，化简得，解得或，因为，所以，A正确；对于B：因为，所以满足不等式成立，则有.因为，所以解得或，B错误；对于C：当时，不等式，即的解集，此时由于，一定有，C错误；对于D：中有4个元素，则，当时，得，所以这4个元素是，所以，得；当时，得，所以这4个元素是，所以，得.综上，当中有4个元素时，的取值范围是.故选：AD.11.已知点是抛物线C上与原点不重合的任意一点，直线是在点处的切线，，为垂足，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A.当的斜率为2时，点到轴的距离为1B.若与轴分别交于点，则为的中点C.曲线与直线没有公共点D.曲线上的点到点距离的平方的最小值为【答案】BCD【解析】A.设直线为，将直线与抛物线联立，可得，与抛物线相切，所以，则，代入，此时联立后的方程为，所以，所以P到y轴的距离为，A选项错误.B.由题可知直线的斜率存在且不为,设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程：，可得：，与抛物线相切，故，解得：，即，则直线的方程为，令，，故，令，，故，因为，所以为的中点，B选项正确；C.由B可知直线的方程，化简可得：，可知的斜率为，所以的斜率为，OQ的方程为，与相交于Q，所以联立直线与，将代入可得，化简可得曲线的方程为，令，得，该方程无解，故曲线与直线没有公共点，C选项正确；D.，化简为可知，所以的方程可化为，根据，可知，则，设是上的点，则，设，则，当，即时取等号，所以的最小值为，D选项正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.①；②恰有两个零点；③.【答案】（答案不唯一）【解析】若，则，满足性质①；令，解得，则函数恰有两个零点2，，满足性质②；而，满足性质③.故答案为：（答案不唯一）.13.已知等差数列的公差，前项和为，若，且，则的取值范围为________.【答案】【解析】因为为等差数列，且，，所以，解得，因为，所以，因为，所以，所以的最大值在处取得，，所以若，则一元二次方程开口向上，无最大值，不符合题意，若，则一元二次函数的图像开口向下，最大值在对称轴处取得，，所以，解得.故答案为：.14.若对任意的恒成立，则a的取值范围是________.【答案】【解析】方法一：第一步：化同构由题意得，所以由，得，得.第二步：换元，构造函数设，则，设，第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，得，所以的取值范围是.方法二：第一步：化同构由题意得，所以由，得，得，得.第二步：换元，构造函数设，则，，设，第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司想了解员工对薪资的满意度情况，对该公司的100名员工进行薪资满意度调查，调查结果如表所示：入职年限对薪资满意度情况合计满意不满意入职年限不少于2年202040入职年限少于2年402060合计6040100（1）根据小概率值的独立性检验，分析该公司员工对薪资的满意度是否与入职年限有关；（2）从样本中对薪资满意的员工中随机抽取2人，求这2人的入职年限都少于2年的概率.附0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）零假设为：该公司员工对薪资的满意度与入职年限无关．经计算得，依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即公司员工对薪资的满意度与入职年限有关，此推断犯错误的概率不大于0.1；（2）对薪资满意的员工共60人，其中不少于2年：20人，少于2年：40人，抽取2人均为少于2年概率：.16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）若C的平分线与交于点D，且，求的最小值.解：（1），，，化简可得，；（2）C的平分线与交于点D，，，，化简可得，即，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值是.17.已知函数.（1）当时，求方程的解；（2）若，证明：（1）解：，，又，，设，，当时，，，则，故在上是单调递增函数；当时，，，则，故在上是单调递减函数；则在处取得最大值，，故只有一个零点，所以的解为；（2）证明：，，，设，需要证明，，，当时，，则，故在上是单调递减函数；当时，，则，故在上是单调递增函数；则在处取最小值，现在只需证明，设，则，，，在上是单调递增函数，，，，，，，，，，，，，得证.18.已知椭圆C直线与C交于点M，N，且线段的中点为（1）求C的离心率.（2）若点M在x轴上，点P，Q（点Q在点P的右上方）在C上，且直线与直线平行.（i）求直线与直线之间距离的取值范围；（ii）求证：直线，的交点在定直线上.（1）解：设，，的中点，则，，由，两式相减整理得，即，，解得，所以椭圆离心率.（2）在中，令，得，故，由的中点为，故，直线方程为，即，所以椭圆的方程为.（i）解：由，设，代入椭圆方程并整理得，由，得，且，直线与的距离，结合的范围，得，，，（ii）证明：设的中点，直线与的交点为，由（1）知，即，所以，即弦的中点始终在直线上，又，所以直线的方程为.因为，所以直线与的交点始终在直线上，即直线与的交点在定直线上.19.如图，在三棱柱中，，点在平面上的射影为的中点.（1）求证：四边形是矩形；（2）若求二面角的正弦值；（3）记三棱柱的体积为，线段的中点为，三棱锥的体积为，若，求证：（1）证明：连接，因为为的中点，，所以，因为点在平面上的射影为的中点，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面.因为平面，所以