河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线与圆的位置关系是（）A.相切 B.相交且直线过圆心C.相交但直线不过圆心 D.相离【答案】C【解析】圆的圆心，半径.因为圆心到直线的距离.所以直线与圆相交但直线不过圆心.故选：C.2.若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，所以到另一个焦点的距离为.故选：A.3.双曲线的离心率，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线中，，又，所以，解得.故选：C.4.已知数列，则该数列的第36项为（）A. B.36 C. D.6【答案】C【解析】因为数列，即，所以归纳可得该数列的通项公式为，所以.故选：C.5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为是抛物线的焦点，所以，准线方程，设，所以，所以，所以线段的中点横坐标为，所以线段的中点到轴的距离为．故选：C．6.将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，且，由题意可得，即，即，解得，因此.故选：D.8.双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，.因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为，点B是圆上的一点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，则故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（）A.焦点在轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在轴上的双曲线 D.长轴长为的椭圆【答案】BC【解析】对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，选项A错误；对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则，解得，选项B正确；对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，所以或，选项C正确；对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，则，，则或，无解，选项D错误.故选：BC.10.已知直线与圆交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），则实数b的值可以是（）A. B. C. D.4【答案】AD【解析】圆的圆心,半径，∵则，∴O到直线的距离，则，故选：AD．11.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列为等比数列 B.数列为等差数列C. D.【答案】ACD【解析】A.由条件，可知，，且，则，所以数列为等比数列，故A正确；B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，所以数列不是等差数列，故B错误；C.由A可知，，所以时，，，也适合，故C正确；D.由C可知，，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l的一方向向量为，且过点，则直线l的方程为________．【答案】【解析】由直线的一方向向量为，可得直线的斜率为，又因为直线过点，由直线的点斜式方程得，即.故答案为：.13.在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，__________．【答案】或【解析】，当且仅当即取得最小值时，所以.故答案为：.14.已知椭圆C：1(a>b>0)的左､右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是___________.【答案】【解析】由题意，将双曲线C'：化成标准形式为，不妨设点M在双曲线的右支上，则由椭圆和双曲线的定义，可得，解得，因为，代入可得，解得或(舍负)，所以，双曲线的焦距，显然有，所以是直角三角形，所以的面积为：.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点P是曲线上的一点，到两点，的距离之差是．（1）点P的轨迹是什么曲线？写出它的标准方程；（2）写出该曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程．解：（1）因为P是曲线上的一点，且到两点，的距离之差为，所以P的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，由题意可得：，则，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.（2）由双曲线的标准方程为，可知：，，所以双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为、离心率为，渐近线方程为.16.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（O为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点斜率为的直线l与抛物线交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过O点，求直线l的方程．解：（1）由已知可得，所以.又点在抛物线上，所以

和

，所以

，又，所以，所以抛物线的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线相切，不满足题意，所以直线的斜率存在.设的斜率为，则的方程为，设，，联立直线的方程与抛物线的方程，可得，，解得且，，.又，，所以，，所以.因为以为直径的圆经过点，所以，所以，即，解得，满足且，所以直线的方程.17.如图，四棱锥P－ABCD中，面，底面ABCD为直角梯形，，，E，F分别为PD，PB的中点．（1）求证CF∥平面PAD；（2）若，求截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（1）证明：若为中点，连接，而F为PB的中点，所以且，底面ABCD直角梯形，，即，由，故且，即为平行四边形，所以，面，面，故CF∥平面PAD.（2）解：由面，面，故，由，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，故，，所以，，若为面CEF法向量，则，故满足，又面ABCD的一个法向量为，截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角为，所以，即截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.18.已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足.（1）求数列和的通项公式；（2）令求数列的前n项和；解：（1）设的公差为,由已知,有解得，所以的通项公式为,的通项公式为.（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.19.已知椭圆的焦距为，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于、两点（在的上方），且．（