河北省NT20名校联合体2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省NT20名校联合体2025-2026学年高二上学期1月期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量的坐标可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为直线的斜率，则直线的方向向量满足，检验可知选项ABC错误，D正确.故选：D.2.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的标准方程为，所以准线方程为.故选：B.3.设向量，，若，则（）A.3 B.2C. D.【答案】C【解析】因为，所以，解得.故选：C.4.已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知：，即，所以双曲线的离心率.故选：A.5.已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若等比数列是递增数列，则该数列必须为同号的数列，即（若，各项必正负交替出现）.若，则的公比，但是递减数列，所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.圆与圆的公共弦长是（）A B.C.3 D.4【答案】D【解析】设圆，圆，圆，其圆心，半径；圆，其圆心，半径；则，即，可知两圆相交，用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离，所以公共弦长是.故选：D.7.在数列中，，，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，当时，则，两式相减可得：，即，且，即，可知数列是各项均为的常数列，所以，即.因为，即，可得，设，则，令，解得，当时，数列递增；当时，；当时，数列递减，所以的最大值为.因为对恒成立，可得，所以实数的取值范围是.故选：C.8.记数列的前项和为，对任意，，当且仅当，，则（）A.442 B.455 C.470 D.485【答案】C【解析】由题意得，区间上的项数为，所以当确定时，有个连续的，对应.当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；前段的项数之和为，因此，第项属于的段，此时，所以.故选:C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.空间中两点，，则B.双曲线的渐近线方程是C.若数列满足，，则D.圆上到直线的距离为的点有三个【答案】ACD【解析】对于A，由空间中两点间的距离公式得，故A正确；对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误；对于C，由题意知，所以当，，，，，，把以上式子相加可得，所以，经检验当也符合，故C正确；对于D，先将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，半径，因为圆心到直线距离，所以圆

上到直线

的距离为

的点有三个，故D正确.故选：ACD.10.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AB【解析】在等差数列中，，对于选项A：因为，所以，又因为，可知与异号，假设，则，可得，，两者相矛盾，所以，故A正确；对于选项B：因为，则，可得，，则，，又因为，即，所以，故B正确；对于选项C：因为，则，又因为，可知与异号，但的正负不确定，且，所以的符号不确定，故C错误；对于选项D：因为，则，所以，故D错误.故选：AB.11.已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（）A.的方程B.过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点C.若点是上一点，则的最大值为D.若点是上一点，则的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，整理得，故A正确；对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为，则直线MN的方程为，整理得，令，解得，所以直线MN过定点，故B正确；对于C，令，对于直线，与C相切时有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误；对于D，，表示点到点的距离，取，，，则，当直线与圆相切时，与的夹角最小，此时在中，，，，所以，，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线的倾斜角为___________.【答案】【解析】因为直线的斜率为，因此直线的倾斜角为．故答案为：.13.已知函数，正项等比数列满足，则________.【答案】6078【解析】因为是正项等比数列，所以，，即，由，则，故，故，所以.故答案为：.14.过圆上一点作圆的一条切线，离心率为的椭圆，与椭圆交于，两点，为坐标原点，为的中点，且点不在轴上，则直线的斜率为________.【答案】【解析】因为，所以，设在椭圆上，代入得；两式相减得，整理，则，又因为，且点为弦的中点，所以，则，所以，且直线为圆的切线，则，得到，设，所以，整理得，代入到圆方程中得.故或或，综上，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到达点处，，O，M分别为AC，的中点.（1）求证：平面平面；（2）N为直线MO上的动点，求直线BN与平面所成角正弦值的最大值.（1）证明：如图，连接，，由题意可知：，因为，则，又因为，，平面，所以平面，且平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知：，，，如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，且是中点，则，可得，，设，，则，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，设直线与平面所成角为，则，当且仅当时，等号成立，所以直线与平面所成角正弦值的最大值为.16.已知数列的前n项和为，，()，.（1）求的通项公式及；（2）求数列的前n项和.解：（1），由()，可知数列是从第2项起以1为公差的等差数列，则时，，当时，；当时，，符合，故.（2）由得，即当或时，；当时，；当时，，当时，；经检验，时符合该式，当时，，故17.已知点在抛物线上，是的焦点，.（1）求的标准方程；（2）若是的准线，过点作直线l的垂线，垂足为，线段交于点，且为锐角三角形，，求的值及的外接圆半径.解：（1）由题意得，解得，所以点的坐标为，代入的方程得，解得或，所以抛物线的标准方程为或.（2）当抛物线的方程为时，准线的方程为，设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，交于点，则，，，此时，所以是锐角且，又因为，所以为锐角三角形，因为点在抛物线上，所以，所以，外接圆的半径，当抛物线的方程为时，同理可得，此时，与为锐角三角形矛盾，综上，，外接圆的半径为.18.已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列，并求；（2）设，求数列的前项和；（3）设，证明：.（1）证明：因为，则，可得，且，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以.（2）解：由（1）可知：，则，可得，则，两式相减得，所以.（3）证明：由（1）可知：，当时，；当时，；当时，则，可得；综上所述：得证.19.已知椭圆：，过点作两条动直线，，分别交于两点，（，与不重合），且满足，其中，分别为直线，的斜率.（1）若直线的斜率为1，求线段的长度；（2）求直线的斜率；（3）设直线与分别交轴于