河北省NT20名校联合体2026届高三上学期1月质检考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省NT20名校联合体2026届高三上学期1月质检考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则其共轭复数为，所以其共轭复数的虚部为.故选：B．2.样本数据的第75百分位数为（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.9【答案】C【解析】由题意得数据共8个，则，因此第75百分位数为，故C正确.故选：C．3.已知向量与，若，则（）A.4 B.-4 C.1 D.-1【答案】D【解析】，因为，则，解得．故选：D．4.已知数列是等比数列，若，则（）A. B.-1 C. D.2【答案】C【解析】由等比数列的性质得，即，解得．故选：C．5.若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为椭圆的离心率为，所以，即，所以该椭圆的焦距为．故选：C.6.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，且，解得或．由可得；而还可能得，由此可知：“”是“”的充分不必要条件.故选：A．7.已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（）A.2 B.4 C.8 D.6【答案】D【解析】取，得，即为奇函数；取，得，所以，所以，所以的周期为．由为奇函数，得，即，于是，因此,取，则，即，，故关于对称又的周期为，故直线也是图象的对称轴，又方程在区间上恰有四个不同的实数根，由对称性可知，四个根两两分别关于直线和对称，故，，即．故选：.8.如图，几何体中，是正三角形，，平面分别为的中点，直线与平面相交于点．则的值为（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】因为分别为的中点，所以，延长至点，使得，连接，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以．则平面即为平面，连接，则平面，则与的交点即为，平面，平面，故平面平面，平面平面，过点作的垂线，垂足为，则平面，则，又为的中点，所以为的中点，所以，又．由易知，，即，解得，所以．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题不正确的有（）A.斜二测画法不会改变边长比例B.一条直线和一个点确定一个平面C.过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大D.用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面【答案】ABC【解析】选项A，在y轴上的线段或与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误；选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能唯一确定一个平面，故选项B错误；选项C，设圆锥的母线长为，轴截面的两条母线的夹角为，则截面的两条母线的夹角为，截面面积，所以当时，轴截面面积最大，当时，的截面面积最大，故C错误；选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确；故选：ABC．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.的极大值为0C.有三个零点D.曲线在处的切线方程为【答案】AB【解析】函数，由得或，所以的单调增区间为．A选项正确；当时，有极大值B选项正确；当时，有极小值，又，所以的图象与轴有两个交点，C选项错误；，所以切线方程为，即D选项错误．故选：AB.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，的内切圆圆心为，过作，垂足为为坐标原点，则（）A.双曲线的离心率为 B.C.圆心的横坐标为1 D.为双曲线的切线【答案】ABD【解析】对于A，由题知，所以双曲线的离心率为，故A正确；对于B，如图1所示，设圆与的三边分别相切于点，延长交于点，连接，则，，故B正确；对于C，如图1所示，．解得，故圆心的横坐标为2，故C错误；对于D，如图2，设双曲线在点处的切线为，作，由光学性质可以知道，又，所以，所以为的平分线，故三点共线，即是双曲线的切线，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线的倾斜角为，则___________．【答案】【解析】由题意可得直线的斜率为，所以，解得．故答案为：.13.已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________．【答案】6【解析】由题意知圆心是抛物线的焦点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为，，所以，当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时即，，共线时取得最小值，等号成立，所以的最小值为6．故答案为：6.14.在Rt中，，，，为空间中的一个点，，，则三棱锥体积的最大值为___________．【答案】【解析】因为，所以在过点且与垂直的平面内，如图：设平面，过作的垂线，垂足为，则，且，因为，所以点在以为圆心的圆周上，如图平面平面，且平面平面，由图可知到底面的最大距离为，所以三棱锥体积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边上一点，且，求．解：（1）因为，所以由正弦定理得，，，，，.（2）因为，所以，因为，所以，即，解得.16.已知，两点．（1）求以线段为直径的圆的标准方程；（2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程.解：（1）因为为直径，则的中点为，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为.（2）设，因为，是线段的中点，由中点坐标公式得，所以，由（1）知，点的轨迹方程为，将代入得，即.又∵，∴，∴动点的轨迹方程为．（除两点）.17.已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值．解：（1）因为焦距为2，所以，即，又椭圆上顶点到点的距离与到直线的距离之比为，上顶点，焦点，则，解得，即，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线，联立，得，则，解得或，由韦达定理可得，所以，所以为定值0．18.如图，斜三棱柱的体积为，为上一点，平面为锐角．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：连接交于点，在斜三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，连接，平面，平面，平面平面，，又在中，为的中点，为中点，又，，又，且平面，平面.（2）解：，斜三棱柱的体积为，所以斜三棱柱的高为1．又平面平面平面平面.过作于，因为平面平面，平面，则平面，即为斜三棱柱的高，，.以为原点，所在直线分别为轴，轴，在平面内过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面的法向量为，则，取，则，所以，取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为.19.将平面内任意向量绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到向量．已知双曲线，将双曲线绕点逆时针旋转后得到曲线．（1）求的方程；（2）点在曲线上，曲线在点处的切线为直线．（i）若与