河北省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知数列为递增数列，且，，，，，故选：C.2.已知直线，则坐标原点O到直线l的距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】坐标原点O到直线l的距离为.故选：B.3.已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的虚轴长为4，所以，则，所以，所以双曲线C的离心率为.故选：A.4.在等差数列中，，，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列的公差为．因为，所以，解得．所以，所以．故选：D.5.如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（）A.10 B.8 C.6 D.【答案】A【解析】由题意得，所以．因为，二面角的大小为，所以，．因为，所以，所以.故选：A.6.已知圆，直线.若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】直线的方程可化为，令，解得，所以直线恒过定点，因为，即点在圆内，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，直线的斜率为，又，由，解得.故选：B.7.已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为3的直线l交抛物线C于P、Q两点.若，则抛物线C的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，抛物线的准线方程为．因为直线过点，且斜率为3，所以直线的方程为．由消去，整理得．因为，所以设，则，．因为，所以，即，即，因为，所以；因为，所以．所以，解得，所以抛物线的准线方程为，故选：D．8.已知椭圆的左、右两焦点分别是、，为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点，则下列说法中正确的是（）A.当直线与轴不重合时，的周长为B.当直线的斜率存在，且时，若弦的中点为，则C.当直线轴时，若，则椭圆的离心率D.若，则椭圆离心率的取值范围是【答案】C【解析】对于A选项，当直线与轴不重合时，的周长为，A错；对于B选项，当直线的斜率存在，且时，则线段的中点不在坐标轴上，设点、，则，所以，，则，因为，两式作差可得，所以，B错；对于C选项，当直线轴时，点、关于轴对称，则，由勾股定理可得，由椭圆定义可得，故该椭圆的离心率为，C对；对于D选项，设点，则，且，则，易知，，则，即，因为，所以，所以，故，所以，故，故该椭圆的离心率的取值范围是，D错.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.直线的斜率为3B.过点，的直线方程为C.圆的圆心为，半径为1D.若，则直线与直线平行【答案】ABD【解析】对A，直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为3，故A正确．对B，因为点，所以直线的斜率为，所以直线的斜截式方程为，一般式方程为，故B正确．对C，圆的标准方程为，所以圆心为点，半径为1，故C错误；对D，当时，直线的方程为，直线的方程为，可化为，所以，故D正确.故选：ABD．10.已知递增等比数列的前n项和为，，且，则下列结论正确的有（）A. B.C.是公差为1的等差数列 D.是等比数列.【答案】BD【解析】设等比数列的公比为，因为数列是递增数列，，所以．因为，所以，解得或（舍去），所以，.因为，所以，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C错误；因为，所以，所以数列是首项和公比均为2的等比数列，故D正确．故选：BD．11.已知数列前n项和为，，，则下列结论正确的有（）A.数列为等比数列 B.数列前n项和C.数列的通项公式为 D.数列不是等比数列【答案】ABD【解析】由，，可得，即有，由，可得，故数列是首项和公比均为3的等比数列，则，即，故A，B正确；由时，，当时，不符合上式，则，故C错误；由，，，但，即数列不为等比数列，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，，，则公差的取值范围是______.【答案】【解析】等差数列中，，，所以，解得，即公差的取值范围是．故答案为：.13.已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则______.【答案】【解析】由直线与双曲线的对称性，不妨设，点在第一象限，则．由题意得，解得．代入双曲线的方程，得，解得．因为，所以．故答案为：.14.已知空间三点，，，则的形状为______.【答案】等腰直角三角形【解析】在空间直角坐标系中，，，，，，，，且，为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.正项数列满足，对一切，有；为数列的前n项和.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列前n项和，求数列的通项公式.（1）证明：因为，所以，所以数列是常数列，设（c为常数），则,所以，所以数列是等差数列，因为，所以，所以．（2）解：由（1）得，所以．当时，．当时，，因为不满足上式，所以数列的通项公式为16.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上.解：（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为，由题意得．因为离心率，所以，所以．因为，所以．解得，所以，所以椭圆的标准方程是．（2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称，又点在轴上，所以的平分线在轴上．当直线的斜率存在时，设为，由题意知，．由（1）知，点，则直线的方程为．由消去，整理得．恒成立，设，则．设直线的斜率分别为．因为点，所以，所以.将代入，得，所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上．综上，的平分线在轴上．17.已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，.（1）求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和；（2）令，求数列的前n项和.解：（1）因为数列的通项公式为，故，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以．因为数列为公比大于0的等比数列，且，设公比为，则，解得或（舍去），所以．所以．（2）由（1）可得，所以①．②．①②得，所以．18.已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，，求数列的前n项和及使的n的最小值.解：（1）在数列中，①，又因②,，所以得．又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，因为对于任意恒成立，所以恒成立．设，则，当和时，，即；当时，，所以，所以数列的最大项是，所以，即实数的取值范围为．（3）由（1）知，所以．所以，所以.由，得，即．因为，所以当时，；当时，．所以当时，，所以使的的最小值是4．19.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.（1）设棱的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）取的中点为，连接，由等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，由底面为直角梯形，，，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，以为坐标