河北省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】显然，，由椭圆定义可得故选：B.2.数列1，1，，，…的通项公式可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，由可得，故A错误；当时，由可得，故B错误；当时，由可得，故D错误；对C，当时，，时，，时，，当时，，都适合，故C正确.故选：C.3.从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（）A. B. C.4 D.5【答案】D【解析】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接，则，光线从到所经过的路程为.故选：D.4.一个剧院的座位排列成扇形，第一排有25个座位，从第二排起，每排比前一排多4个座位，且最后一排有69个座位，则该剧院共有多少排座位（）A10排 B.11排 C.12排 D.13排【答案】C【解析】由题意，剧院每排的座位数构成以为首项，公差为的等差数列，其中末项为，假设剧院共有排座位，则，解得，故选：C.5.如图，在正四面体中，，是的重心，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】连接,延长交于，因为是的重心，所以是的中点，故选：A.6.若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得圆心为，半径为，圆心到直线距离为，因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即，解得或，故选：B.7.已知抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（）A.154 B.152 C.150 D.148【答案】D【解析】由抛物线知，焦点为，设直线的方程为设，则①.由，消去得，所以，故由①得，解得，所以，所以，故选：D.8.已知等差数列的前项和分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据等差中项的性质，可得，再由等差数列的前n项和公式可得，所以，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（）A.的离心率为 B.的渐近线方程为C.的实轴长为 D.是上的点【答案】AD【解析】由题可知，，即，因此.双曲线方程，等价于.对于A：若的离心率，解得，又因为，故，符合题意，故A正确；对于B：若的渐近线方程为，则，即，又因为，易解得，与题意不符，故B错误；对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误；对于D：将代入，可得，又因为，联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确.故选：AD.10.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.是递减数列 B.C.当时，取得最小值 D.当时，取得最大值【答案】ABD【解析】对于A：，.又，，故等差数列是递减数列，故A正确；对于B：由A可知，且数列是递减数列，故有，，因此有，故，即，故B正确；对于C、D：由B可知，当时，；当时，，故当时，取得最大值，故C错误，D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥体积的最大值为C.若，则三棱锥外接球的表面积为D.存在，使得平面【答案】ABD【解析】对A，，，，即，故A正确；对B，过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，即三棱锥的高为，，，当时，，故B正确；对C，当时，，故为中点，又为中点，所以，所以到距离都为，即外接球的球心为，球半径为1，所以外接球表面积，故C错误；对D，在正方体中，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，当时，是的中点，此时平面，所以平面，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，且，则___________．【答案】【解析】因为，所以，解得，故答案：.13.已知等差数列的前项和为，且，则___________．【答案】4【解析】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列．令，则，，，成等差数列．由，设，得，则，，，所以，，所以．故答案为：.14.已知点，动点满足，则的取值范围为___________．【答案】【解析】由，可得，化简可得：，配方可得，所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，，令，则表示点与点连线的斜率，设过点且与圆有公共点的直线方程为，则圆心到直线的距离，即，解得，所以，即，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线．（1）若，求与交点的坐标；（2）若，求与之间的距离．解：（1）若，则，联立，，解得，即与交点的坐标为.（2）若，则，整理得，解得或.当时，（即），，则与之间的距离；当时，（即），（即），此时重合，不满足题意，故舍去.综上所述，与之间的距离.16.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）求平面与平面夹角余弦值．（1）证明：连接，与相交于点，因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）证明：因为底面是正方形，所以⊥，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，又，所以平面；（3）解：因为平面，平面，所以，又底面是正方形，故，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，则，设平面的一个法向量为，则，令得，故，显然平面的一个法向量为，设平面与平面夹角大小为，则；17.在平面内，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线．（1）求的方程．（2）设斜率为1的直线与曲线交于两点，记线段的中点为为坐标原点，判断直线的斜率是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：（1）由题可得，，两边平方得，整理得，故的方程为：.（2）直线的斜率是否为定值，下证：设，则，则有，作差得，等式两边同除，得：，即，因此，因此，直线的斜率为定值，定值是.18.已知数列满足．（1）求证数列是等差数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记数列的前项和为，求数列的前项和．解：（1）由可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.所以，所以.（2）因为，所以（3）因为数列为等差数列，所以，所以，所以，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，设前项和为，则，令，解得，当时，，所以，当时，,综上，.19.已知椭圆的离心率为，的左顶点为，上、下顶点分别为．（1）求的方程；（2）记为坐标原点，设是上异于顶点的一个动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．（Ⅰ）记的面积为，的面积为，证明：；（Ⅱ）若点在外接圆的圆外，求点