大同高三数学模拟试题及答案

大同高三数学模拟试题及答案

1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，求实数\(a\)的值。（10分）2.函数\(f(x)=\log_2(x^2-ax+3a)\)在\([2,+\infty)\)上是增函数，则实数\(a\)的取值范围是？（10分）3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\sin2\alpha\)的值。（10分）4.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+2n\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。（10分）5.若直线\(l\)过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y-1=0\)平行，求直线\(l\)的方程。（10分）6.已知圆\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直线\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)，证明直线\(l\)恒过圆\(C\)内一点，并求出该点坐标。（10分）7.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求函数\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上的最大值和最小值。（10分）8.已知椭圆\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((2,0)\)，求椭圆\(C\)的方程。（10分）答案与解析：1.解：由\(x^2-3x+2=0\)，得\((x-1)(x-2)=0\)，所以\(x=1\)或\(x=2\)，则\(A=\{1,2\}\)。由\(x^2-ax+a-1=0\)，得\((x-1)[x-(a-1)]=0\)，所以\(x=1\)或\(x=a-1\)，则\(B=\{1,a-1\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a-1=1\)或\(a-1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)。解析：先求出集合\(A\)，再通过对集合\(B\)方程的求解得到集合\(B\)，根据\(A\cupB=A\)得出\(B\subseteqA\)，从而确定\(a\)的值。2.解：令\(t=x^2-ax+3a\)，则函数\(y=\log_2t\)在其定义域上单调递增。要使\(f(x)=\log_2(x^2-ax+3a)\)在\([2,+\infty)\)上是增函数，则\(t=x^2-ax+3a\)在\([2,+\infty)\)上单调递增且\(t\gt0\)在\([2,+\infty)\)上恒成立。对称轴\(x=\frac{a}{2}\leq2\)且\(2^2-2a+3a\gt0\)，解得\(-4\lta\leq4\)。解析：根据复合函数单调性，先确定外层函数单调性，再根据内层函数单调性及取值范围列出不等式求解。3.解：因为\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。则\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{3}{5}\times(-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}\)。解析：已知\(\sin\alpha\)的值及\(\alpha\)范围，先求出\(\cos\alpha\)，再利用二倍角公式计算\(\sin2\alpha\)。4.解：当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=1^2+2\times1=3\)。当\(n\geq2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1\)。当\(n=1\)时，\(a_1=3\)也满足\(a_n=2n+1\)，所以\(a_n=2n+1\)。解析：利用\(a_n\)与\(S_n\)的关系，先求出\(n=1\)时的值，再求出\(n\geq2\)时的表达式，最后验证\(n=1\)时是否满足。5.解：直线\(2x-y-1=0\)的斜率为\(2\)，因为直线\(l\)与它平行，所以直线\(l\)的斜率也为\(2\)。由点斜式可得直线\(l\)的方程为\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。解析：根据两直线平行斜率相等，再利用点斜式写出直线方程。6.解：将直线\(l\)的方程变形为\((2x+y-7)m+(x+y-4)=0\)。令\(\begin{cases}2x+y-7=0\\x+y-4=0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}\)，所以直线\(l\)恒过定点\((3,1)\)。因为\((3-1)^2+(1-2)^2=5\lt25\)，所以点\((3,1)\)在圆\(C\)内。解析：通过变形直线方程，令含\(m\)的项系数为\(0\)，联立方程组求出定点坐标，再判断该点与圆的位置关系。7.解：\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\in[-1,0)\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(0,2]\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减。\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2+2=-2\)，\(f(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)，\(f(2)=2^3-3\times2^2+2=-2\)。所以函数\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上的最大值为\(2\)，最小值为\(-2\)。解析：先求导函数，根据导函数确定函数单调性，再求出区间端点及极值点处的函数值，比较得出最值。8.解：因为椭圆过点\((2,0)\)，所以\(a=2\)。又离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}