大工运筹学期末考真题及答案

大工运筹学期末考真题及答案

一、选择题（每题3分，共15分）1.线性规划具有唯一最优解是指（）A.最优表中存在常数项为零B.最优表中非基变量检验数全部非零C.最优表中存在非基变量的检验数为零D.可行解集合有界二、填空题（每题3分，共15分）1.若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的（）上达到。三、判断题（每题2分，共10分）1.线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。（）四、解答题（每题20分，共40分）1.用单纯形法求解线性规划问题：\(maxz=3x_1+5x_2\)\(\begin{cases}x_1+x_2\leq4\\2x_1+x_2\leq6\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\)五、应用题（20分）1.某工厂生产A、B两种产品，已知生产单位产品A需要消耗原材料2吨，劳动力3个；生产单位产品B需要消耗原材料3吨，劳动力2个。工厂现有原材料10吨，劳动力9个。生产单位产品A可获利4万元，生产单位产品B可获利5万元。问如何安排生产计划可使利润最大？建立线性规划模型并求解。答案与解析：一、选择题1.答案：B解析：当最优表中非基变量检验数全部非零时，线性规划具有唯一最优解。A选项最优表中存在常数项为零不一定是唯一最优解；C选项最优表中存在非基变量的检验数为零可能有无穷多最优解；D选项可行解集合有界不一定有唯一最优解。二、填空题1.答案：顶点解析：线性规划问题若有最优解，最优解一定可以在可行域的顶点上达到。三、判断题1.答案：错误解析：线性规划问题的最优解不一定是基可行解，最优解可能在可行域的边界上，不一定是基可行解对应的顶点处。四、解答题1.首先将线性规划问题化为标准型：\(maxz=3x_1+5x_2\)\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=4\\2x_1+x_2+x_4=6\\x_1,x_2,x_3,x_4\geq0\end{cases}\)列出初始单纯形表：|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项||---|---|---|---|---|---||\(x_3\)|1|1|1|0|4||\(x_4\)|2|1|0|1|6||\(z\)|-3|-5|0|0|0|进行迭代：确定换入变量：\(\max\{-3,-5\}=-3\)，所以\(x_1\)为换入变量。确定换出变量：\(\min\{\frac{4}{1},\frac{6}{2}\}=3\)，所以\(x_4\)为换出变量。进行初等行变换得到新的单纯形表：|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项||---|---|---|---|---|---||\(x_3\)|0|\(\frac{1}{2}\)|1|\(-\frac{1}{2}\)|1||\(x_1\)|1|\(\frac{1}{2}\)|0|\(\frac{1}{2}\)|3||\(z\)|0|\(-\frac{7}{2}\)|0|\(\frac{3}{2}\)|9|此时，\(\max\{-\frac{7}{2},\frac{3}{2}\}=\frac{3}{2}\)，所以\(x_2\)为换入变量。\(\min\{\frac{1}{\frac{1}{2}},\frac{3}{\frac{1}{2}}\}=2\)，所以\(x_3\)为换出变量。再进行初等行变换得到：|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项||---|---|---|---|---|---||\(x_2\)|0|1|2|-1|2||\(x_1\)|1|0|-1|1|2||\(z\)|0|0|\(\frac{7}{2}\)|\(-1\)|16|检验数全部非负，得到最优解\(x_1=2,x_2=2,x_3=0,x_4=0\)，\(z_{max}=16\)。五、应用题1.设生产产品A\(x_1\)件，生产产品B\(x_2\)件。线性规划模型为：\(maxz=4x_1+5x_2\)\(\begin{cases}2x_1+3x_2\leq10\\3x_1+2x_2\leq9\\x_1,x_2\geq0\end{cases}\)化为标准型：\(maxz=4x_1+5x_2\)\(\begin{cases}2x_1+3x_2+x_3=10\\3x_1+2x_2+x_4=9\\x_1,x_2,x_3,x_4\geq0\end{cases}\)列出初始单纯形表：|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项||---|---|---|---|---|---||\(x_3\)|2|3|1|0|10||\(x_4\)|3|2|0|1|9||\(z\)|-4|-5|0|0|0|进行迭代：确定换入变量：\(\max\{-4,-5\}=-4\)，所以\(x_1\)为换入变量。确定换出变量：\(\min\{\frac{10}{2},\frac{9}{3}\}=3\)，所以\(x_4\)为换出变量。进行初等行变换得到新的单纯形表：|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项||---|---|---|---|---|---||\(x_3\)|0|\(\frac{5}{3}\)|1|\(-\frac{2}{3}\)|4||\(x_1\)|1|\(\frac{2}{3}\)|0|\(\frac{1}{3}\)|3||\(z\)|0|\(-\frac{7}{3}\)|0|\(\frac{4}{3}\)|12|此时，\(\max\{-\frac{7}{3},\frac{4}{3}\}=\frac{4}{3}\)，所以\(x_2\)为换入变量。\(\min\{\frac{4}{\frac{5}{3}},\frac{3}{\frac{2}{3}}\}=\frac{12}{5}\)，所以\(x_3\)为换出变量。再进行初等行变换得到：|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项||---|---|---|---|---|---||\(x_2\)|0|1|\(\frac{3}{5}\)|\(-\frac{2}{5}\)|\(\frac{12}{5}\)||\(x_1\)|1|0|\(-\frac{2}{5}\)|\(\frac{3}{5}\)|\(\frac{9}{5}\)||\(z\)|0|0|\(\frac{7}{5}\)|\(\fra