福建省龙岩市2025-2026学年高二下学期4月期中联考数学试卷

已知向量→

共线，则实数k（ C．1或 D．3或y1x32x3在点114处的切线的倾斜角为（ 3

D（A．

fxx2xfxx1x3的平均变化率为（

的大致图象为（ 已知函数f(x)的导函数为fx，且满足fx2xf(1)lnx，则f(2) A．

C．

D．fx2mxlnxm有两个零点，则实数m的取值范围是（A．

D．,ABAC0,3,下列命题是真命题的有（平面αA(101B(0,10)C(120n1ut是平面α的法向量，则u0t直线l的方向向量为a(112，直线m→2,11，则l与m 2 ABMNBABMBNABMfxx36ax22aR，则（当a1fx的单调递减区间为4存在a0fx当a0fx的极小值点为0当a0yfx1的对称中心为1→21,1),b1,1,2

→b|已知空间向量a1,1,0，b2,1,2，则向量a在向量b上的投影向量的坐标 已知函数f(x)alnx1x26x4在定义域内单调递增，则a的取值范围 ABCDA1B1C1D1DA2DC4DD142EB1CBC1fx2lnxax2bx1求a、bfxx12alnx若a4fxfx有两个极值点，求实数a如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD//BC，ABAD，PA1，AB ，BC1AD2MPD的中点CMPABPABPCDBD上是否存在点QDPAQ221BQ 请说明理由fxsinxxa在点0,f0处的切线l与直线nxy0平行求切线l 2

22k3k，即k22k30，解得k3或k1 所以实数k的值为3或y1x32x3yx22y

122y1x32x3在点114处的切线的斜率k1，设倾斜角为 3

【详解】向量OA(1,1,2)，OB(1,3,4)，线段AB的中点为D，则OD 而OC244)，于是CDODOC221((2)2(2)2所以|CD 3fxx2xf11210f33236fxx1x3的平均变化率为yf3f1603∵

3

236 cosAB,

AB

2∴AB与CA的夹角为

2π．

ex1(x ，所以

x x0fx0x1fx0得0xB图象符合.,fx21f2213 fx2mxlnxm有两个零点，即lnx2mxm有两个正实根，ylnxy2mxm2个交点．y11lnx02，即lnx110 x0 gxlnx11x0gx110gx在(0 y2mxmylnx相切时，切点为101．ylnxy2mxm2个交点，则需满足02m1，所以1m2．B132xB132B不正确.ABAC032ABBC12214C、D均正确.

ABnAB 1ut故22ut

，解得u1,t0，A错误

AC

→

ab12112

0,故alm垂直，BCan0111110,故a可得l在α内或l∥α，CD,ABMNBABMBN不能构成空间的一个基底，BABMBNABMN共面,D正确；故选:fxx36ax22aRfx3x212axaR，A，当a1fx3x212xfx0，即3x212x0，x0x4，Bfx3x212ax0x0x4a，又a0x0fx0fx在区间0上单调递增，x04afx0fx在区间04a上单调递减，x0fxf0036a02220，x4afxf4a4a36a4a2232a320，所以不存在a0fxB错误；Cfx3x212ax0x0x4a又a0x∞4afx0fx在区间4a上单调递增，x4a0fx0fx在区间4a0上单调递减，x0fxC错误；D，当a0fxx32yfx1x132yx3的对称中心为0,0yfx1x132yx31个单位，2个单位得到，yfx1的对称中心为12D正确→21,1),b1,1,2323202 |ab 32 (,, →

a 2【详解】cosa,b→→ 2|a||b →

11

所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cosa,b→b(,,)|b 3 故答案为：(,, [9,fxalnx1x26x4的定义域为(0f(xax60在(0所以ax26x在(0上恒成立，yx26xx3)29x3yx26x所以a9，即a的取值范围是[9 1 115．(1)AEAB2AD2(2)

1

1

BE

BCBB1

AEAB

ADAA1AB

1

1AA1 （2）DADCDD1xyz AEA1C12442242216162AE

AE

1165，A116

41641652所以cosAE,A1C 52AEA1C所成角的余弦值为1316．(1)a1，b(2)1，最小值为4fx22axfx2lnxax2bx1f(1)ba则f122a0，解得a1b2fx2f(1)ba 21x2

fx 2x ，

1ffxx1取得极大值，合乎题意，故a1b2（2）由（1）fx在1,1上单调递增，在[1e所以，f f12ln1121f12ln1121fe2lnee224e2 e222 e225e225因为 4e2 0所以

fe4e217．(1)单调递减区间为02，单调递增区间为2 （1）若a4fxx124lnxx0f

2x22x x2x1

2x2x fx0x2fx0，解得0x2（2）fxx

alnxx0

x2x1

2x22x fxfx0有两个变号零点，即2x22xa0Δ=2242a所以 a解得1a0，所以实数a的取值范围为10 18．(1)3BQ1 （1）PAEEMEB又MPDEMADEM1ADADBCBC1AD2EMBCEMBC，EMCB为平行四边形，所以MCEB，EBPABMCPAB，所以CM//PAB；PAABCDABABCDADABCD，PAABPAAD，ABADAAPzABxADyP00,1A000B300C3,10D020 AP00,1AB300PC

3,1,1，PD0,2,1→→ nAP

→

，即 3xy1x0z0PAB的法向量为n0,10 mPC

3xyz令平面PCD的法向量为mx,y,z，则→ ，即 令y1，则x ，z2，所以平面PAB的法向量为m

3,1,2PABPCD

0θπ 2 所以

→0311031103312 → 02120212

4PABPCD所成角的余弦值为3

3,0,0，BD

3,2,0，AP0,0,1 AQABBQABλBD

→

z

n1AP

x

3y

z0

的法向量为n1

2λ,0 PD021DPAQ221→

221，即 221，解得λ1， 2λ BD上存在点QDPAQ221BQ1 19．(1)xy1(2)1个零点，理由见解析（1）f(xcosxa1x所以切线的斜率kf(0)a，由题意得a1f(xsinxx1f(0)sin001 所以切线ly11(x0)xy10（2）由（1）知a1f(xsinxx1f(xsinxx10，可得exsinxx10g(x)exsinxx1g(x)(sinxcosx)ex1①x0πsinxcosx2sinxπ 2 4 x0πxππ3π，则sinxcosx1,2ex1 2

44 gx0gx在0π 2 g(0)10gx在0π上无零点 2 22②xπ3π时，令hx)(s