北师大版七年级数学下册第三章《概率初步》每课时导学案汇编（含六个导学案）

3.1感受可能性（导学案）

01

（I）通过具体实例，理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；能准确区分生活中的确定事

件与随机事件；感受随机事件发生的可能性有大有小.

（2）经历猜测、试验、收集数据、分析结果的过程，体会数据的随机性；通过游戏活动，在动手

操作中感悟数学与生活的联系.

（3）在游戏和试验活动中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过感受随机现象，逐步建立辩

证唯物主义的世界观.

重点：理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能区分确定事件与随机事件.

难点：感受随机事件发生的兀能性有大有小，树立初步的随机观念.

第一环节自主学习

温故知新：

问题情景：商场抽奖促销，你中奖的概率是多少?如果天气预报说明天下雨的概率是70%,那

么弥明天出行时会不会带雨伞?生情中到处都有随机现象，概率论就是研究滩机现象数量规律

的数学分支，掌握概率知识可以帮助我们更好地作出决策.

本章将以小学阶段对随机现象发生可能性的认识为基础，进一步认识随机事件，通过试验感受

随机事件发生颜率的稳定性，理解概率的意义，并用定量的方法描述随机事件发生的概率.

新知探究

【学法指导】

新知自研：自研课本第60・62页的内容

【学法指导】自研课本P60・62页内容

（一）抽奖游戏中的可能性

活动：出示一个转盘（被平均分成8个区域，分别标注1-8）,模拟商场抽奖情境.

（1）指针指向10,能获得大奖吗？

不可能，转盘上没有10.

（2）指针指向1-8中的一个，一定会发生吗？

一定会，因为转盘只有这些数字.

（3）指针指向5,一定会发生吗？

可能发生，也可能不发生.

（4）同样是转盘游戏，为什么有的情况'一定’发生，有的‘不可能'发生，有的‘可能发

生也可能不发生'？

（-）概念形成（三类事件的认识）

活动h教材P60转转盘活动

（1）她一定获得购物券吗？

不一定，可能指向“谢谢参与”.

（2）她能获得面额10元的购物券吗？

可能，也可能不.

（3）她获得的购物券一定不超过100元吗？

一定，因为转盘上最大面额10（）元.

总结归纳：必然事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先能肯定它一定会发生.

不可能事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生.

随机事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，也称为

不确定事件.

活动2：举例辨析

小组合作：每人举一个生活中的例子，小组内判断分别是什么事件.

仝班交流：选取典型例子分享.

（三）深化理解概念

活动3：摸球游戏（教材P61“做一做”变式）

情境：不透明的甲、乙两个袋子中装有除颜色外都相同的10个球.

甲袋：9个红球，1个黄球

乙袋：9个黄球，1个红球

问题1：从甲袋中任意摸一个球，“摸到红球”是什么事件？“摸到黄球”是什么事件？“摸

到白球”是什么事件？

问题2：从甲袋中“摸到红球”和“摸到黄球”，哪个可能性更大？

问题3：从乙袋中“摸到红球”和“摸到黄球”，哪个可能性更大？

学生猜测：学生先凭直觉回答.

追问：你们的猜测对吗？我们可以怎样验证？

引导学生提出做试验验证.

小组试验：每组准备两个袋子，按规则进行摸球试验，艺录结果.

数据分析：汇总全班数据，比较摸到红球和黄球的次数.

结论归纳：随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不

同.

活动4：“抢十”大挑战(教材P61改编)

游戏规则：两人一组，轮流掷一枚质地均匀的骰子，可以只掷一次，也可以连续掷几次，当掷

出的点数和不超过10时，如决定停止，得分就是所掷出的点数和，当掷出的点数和超过10时，

必须停止，得分为0,比较得分，高者获胜.

活动要求：每组游戏3次，记录每次掷骰子的点数和得分.

思考：如果前面掷出的点数和已经是4,你决定继续还是停止？如果是5、7、9呢？

小组交流：分享自己的决策理由.

教师引导：点数和较小时，继续掷骰子“爆掉”的可能性小，得分增加的可能性大；点数和较

大时，继续掷骰子“爆掉”的可能性大，风险高.这体现了随机事件可能性的大小影响人们的决

策.

【自研自探】

自研课本P60・62页内容

典型例题

例1.问题：下列成语所描述的事件，分别属于哪一类？

旭日东升、守株待兔、拔苗助长、水中捞月、瓮中捉鳖、他乡遇故知.

【分析】将数学知识与语文成语相结合，既增加了趣味性，乂让学生在文化浸润中根据三种事

件类型进行判断.

【详解】解:必然事件：旭日东升、瓮中捉鳖.

不可能事件：拔苗助K、水中捞月.

随机事件：守株待兔、他乡遇故知.

例2：十字路口的信号灯，通过调查可知，绿灯40秒，红灯30秒，黄灯5秒。你经过十字路口时:

(1)“遇到绿灯”是什么事件？

(2)“遇到红灯”是什么事件？

(3)“遇到黄灯”是什么事件？

（4）“遇到绿灯”和“遇到黄灯”哪个可能性更大？

【分析】通过贴近生活的实际问题，让学生学会用本节课所学知识解释生活现象.

【详解】解:都是随机事件；绿灯时间最长，所以遇到绿灯的可能性最大.

第二环节合作探究

讨论什么必然事件？什么是不可能事件？什么是随机事件？

拓展提升：1.将军与秀才的故事：古时候有一个将军，想惩罚一位聪明的秀才。他在两张纸片

上分别写“赏”和“罚”，让秀才抽签决定命运。将军偷偷将两张纸片都写上了“罚”……

问题：

（1）如果将军没有作弊，秀才抽到“罚”是什么事件？

（2）将军将两张纸片都写成“罚”后，秀才抽到“罚”变成了什么事件？

（3）秀才要想办法躲过责罚，他该怎么做？

【详解】解：（1）随机事件：（2）必然事件：（3）抽出一张后立刻吃掉，让将军看剩下的那

张是“罚”，从而证明自己抽到的是“赏”.

层巩固练习

课堂练习：课本随堂练习.

参考答案：1.（1）随机事件;（2）不可能事件;（3）必然事件.

2.一副扑克牌中，“A”有4张「黑桃”有13张，“黑桃”比多，因此从一副扑克牌中任

意独取一张，这张牌是“黑桃”的可能性比这张牌是“A”的可能性大.

3.例如:买一张彩票，中大奖的可能性很小;掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过5的可

能性比较大.

6真题感知

1.（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，正面向上

B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【解答】解：A.投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意；

B.从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意；

C.任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意；

D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意；

故选:B.

2.（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全

相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，

每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数

独”卡片的事件是；

A.必然事件

B.随机事件

C.不可能事件

【解答】解：由题意可得，

若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，

故答案为：B.

05随堂笔记

知识总结：（1）三类事件必然事件：事先能肯定一定会发生;不可能事件：事先能肯定一

定不会发生;随机事件（不确定事件）：事先无法肯定会不会发生.（2）两个确定：确定事件

包括必然事件和不可能事件.（3）一个性质：随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机

事件可能性大小可能不同

方法总结：（1）分类讨论思想：根据事件发生的确定性程度进行分类.（2）试验探究法：通过

试验收集数据，分析随机事件的可能性大小.（3）联系生活法：用数学眼光观察生活中的随机

现象.

易错提醒：（1）概念混淆：误以为“很可能发生”的事件是必然事件（如“明天可能下雨”

是随机事件，不是必然事件）.（2）绝对化错误：忽略条件限制,如“水中捞月”在一定条件

下是不可能事件，但如果有工具就可能实现一一要注意“在一定条件下”的前提.13）可能性

大小判断失误：不能只凭主观感觉，要以客观数据为依据（如信号灯时间长短决定可能性大小）.

3.2频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性）

（导学案）

01学习目标

（I）理解频率的概念，知道频率的计算方法；通过试验感受在试验次数很大时，随机事件发

生的频率具有稳定性；能用频率估计事件发生的可能性大小.

（2）经历“猜测一试验一收集数据一分析结果一得出结论”的完整探究过程，体会统计思想;

通过绘制折线统计图，培养数据分析能力.

（3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过数学史介绍（伯努利），

感受数学文化的魅力；树立用数据说话的理性精神.

重点：通过试验理解当试验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性.

难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，以及对频率与概率关系的初步感知.

第一环节自主学习

温故知新：

情境创设：小明和小丽想用都图钉来决定谁去参加夏令营。小明说：“掷一枚图钉，落地后

如果是钉尖朝上，我就去；如果是钉尖朝下，小丽就去。”小丽认为这个办法不公平。你同意

谁的观点？为什么？

学生猜测：学生可能凭直觉认为两种结果可能性不同，也可能认为各占一半.

追问：直觉不一定可靠，我们怎样才能验证自己的猜测？

引导学生想到做试验.

新知探究

【学法指导】

新知自研：自研课本第64・65页的内容

【学法指导】自研课本P64・65页内容

（一）分组试验，获取数据

介绍频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生

的频率。

任务1——小组试验

两人一组，一人掷图钉，一人记录.

每组做20次掷图钉游戏，记录钉尖朝上、朝下的次数.

计算钉尖朝上的频率（钉尖朝上次数/试验总次数）.

填入教材P140表格.

任务2一一全班汇总.

各组汇报试验结果.

教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、80、120……400）

引导学生观察：各组数据是否一致？为什么有差异？

教师点拨：试验次数较少时，频率波动较大，甚至与猜测有矛盾，这是正常现象。要得到可靠

结论，需要增加试验次数.

（二）绘制图表，探究规律

任务3一—绘制折线统计图

根据全班汇总数据，在教材P141的坐标系中描点

画出钉尖朝上频率随试验次数变化的折线统计图

观察思考：

随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率有什么变化趋势？

频率是在一个常数附近投动，还是亳无规律？

摆动幅度有什么变化？

小组讨论：学生交流观察结果.

归纳结论：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率

具有稳定性.

（三）数学史话，深化认识

介绍数学家试验：出示历史上数学家掷硬币的试验数据（如布丰、皮尔逊等）

试脸者投掷次数正面出现次数正面频率

布丰404020480.5069

皮尔逊1200060190.5016

思考：这些数据支持我们发现的规律吗？

介绍伯努利：频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布•伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定

律”，这是概率论的重要基石.

【自研自探】

自研课本P64・65页内容

典型例题

1.问题：某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表:

射击总次数n1020501002005001000

击中靶心次数m9164188168429861

击中靶心频率m/n

(1)完成上表

(2)观察频率变化，有什么规律？

(3)估计该运动员击中靶心的可能性有多大？

学生独立完成，教师巡视指导.

第二环节合作探究

讨论频率的稳定性？

拓展提升：

问题1：小凡做了5次掷图钉试验，其中有3次钉尖朝上。据此他认为钉尖朝上的可能性比钉

尖朝下的可能性大。你同意他的说法吗？

学生讨论：5次试验次数太少，频率不稳定，不能代表普遍规律.

问题2：小明和小丽一起做了1000次掷图钉试验，其中有640次钉尖朝上。据此他们认为钉

尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意吗？

学生讨论：10()()次试验次数较大，频率相对稳定，可以作为估计依据.

1巩固练习

课堂练习：课本随堂练习

参考答案：目的是让学生利用已收集到的数据，再次经历汇总数据、绘制折线统计图、分析试

验结果的过程，最后得到类似的结论：在试验次数很大时，盖口向下的频率也会在一个常数附

近摆动，即盖口向下的频率也一样具有稳定性.

真题感知

1.（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全

相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，

每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.

（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是;

A.必然事件

B.随机事件

C.不可能事件

【解答】解：（1）由题意可得，

若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，

故答案为：B.

2.（2025•湖北）在卜列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，正面向上

B.从只有红球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【解答】解：A.投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意；

B.从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意；

C.任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意；

D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意；

故选：B.

05随堂笔记

知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆

动.（2）重要结论：试验次数越多，频率越稳定，越能反映事件发生的反能性斑.

方法总结：（1）探究路径：猜测试验f收集数据分析数据得出结论.（2）统计思想：用

数据说话,用频率估计可能性.

易错提醒：（1）不能用少量试验的频率代表普遍规律,试验次数太少时结论不可靠.（2）忽略

条件：频率的稳定性是在“大量重复试验”的条件下成立的.

3.2频率的稳定性（第2课时：等可能事件频率的稳定性）

（导学案）

01学习目标

（1）通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；理

解概率的定义，知道必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围；能根据问题的特点，

用频率来估计事件发生的概率.

（2）经历“猜测一试验一收集试验数据一分析试验结果一验证猜测”的完整探究过程，体会

数据的随机性；通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方

法.

（3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验,

感受数学文化的魅力；通过本实际问题的分析，体会数学的应用价值.

重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.

难点：理解频率与概率的区别与联系，建立概率的统计定义.

第一环节自主学习

温故知新：

问题回顾：上节课我们通过掷图钉试验，发现了什么规律？

学生回答：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在个常数附近摆动，即频率具有稳定性。

追问：这个规律是否具有普遍性？对于掷硬币这样的等可能事件，是否也有同样的规律？

新知探究

【学法指导】

新知自研：自研课本第64・65页的内容

【学法指导】自研课本P64-65页内容

（一）分组试验，获取数据

介绍试验背景：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后会出现两种情况一一正面朝上或正面朝下。

你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？

任务1——小组试验：

两人一组，一人掷硬币，一人记录

每组做2（）次掷硬币游戏，记录正面朝上、朝下的次数

计算正面朝上的频率（正面朝上次数/试验总次数）

将数据填入教材P145表格

任务2一—全班汇总：

各组汇报试验结果

教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、60……200）

引导学生观察：随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？

（二）绘制图表，探究规律

任务3一—绘制折线统计图：

根据全班汇总数据，在教材PI45的坐标系中描点.

画出正面朝上频率随试验次数变化的折线统计图.

观察思考：

随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？

频率是在一个常数附近摆动吗？这个常数大约是多少？

搜动幅度有什么变化？

小组讨论：学生交流观察结果.

初步结论：在试验次数很大时，正面朝上的频率都会在0.5附近摆动，即频率具有稳定性.

（三）数学史话，验证规律

介绍数学家试验数据：出示历史上数学家所做的掷硬币忒验数据：

试验者投掷次数n正面出现次数m止止出现的频率m/n

布丰404020480.5069

德•摩根409220480.5005

费勒1000049790.4979

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005

维尼30000149940.4998

思考：这些数据支持你发现的规律吗？

总结归纳：无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时，事件发生的频率都会在

一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布・伯努利最早

阐明的，他还提出了“大数定律”.

(四)概念建立一一概率的定义

教师讲解：由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁,

这就意味着事件A发生的可能性也越大.因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的

大小.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A).

明确关系：一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生

的概率.

想一想：

事件A.发生的概率P(A)的取值范围是什么？

必然事件发生的概率是多少？

不可能事件发生的概率是多少？

归纳总结：必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;随机事件A发生的概率P(A)是

0与1之间的一个常数.

【自研自探】

自研课本P64・65页内容

典型例题

例1.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等

语言来描述下列事件的可能性.

(1)买20注七星彩票，获特等奖500万；

(2)袋中有20个球，I个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球；

(3)掷枚均匀的骰了，6点朝上；

(4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品；

⑸早晨太阳从东方升起；

(6)小丽能跳5m高.

【分析1事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小，据此逐

一判断即可.

【详解】（1）解：买20注七星彩票，获特等奖500万，可能性极小；

（2）解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能;

（3）解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能；

（4）解：1（）（）件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品，很可能；

（5）解：早晨太阳从东方升起，一定；

（6）解：小丽能跳5m高，不可能.

例22023中国人工智能大会于10月14口至15口在太原举办.哥哥和弟弟都想去，但他们只有一

张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1,2,3,

4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观.规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的

数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表

或画树状图的方法说明理由.

【分析】本题考察的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相

等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有

等可能的情况数，算出指针两次所指数字和都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公

平.

【详解】解：该游戏公平.理由:

列表如下：

第一次

结果1234

第二次

12345

23456

34567

45678

由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同，

其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种，

8=_8_

所以，P（哥哥去）=I6,P（弟弟去）一记，

即P（哥哥去）=P（弟弟去）.

所以游戏公平.

第二环节合作探究

1.讨论如何用图表频率规律？

2.讨论什么概率？三种事件的概率.

拓展提升：1.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的.将

它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下.由于棋子

的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如

下表：

试验次数〃20406080100120140160

“帅”字面朝上的频数机a18384752667788

m

“帅”字面朝上的频率70.70.450.630.590.520.550.55b

⑴求出上表中数据。和〃的值；

⑵根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保

留两位小数）

/?=—=0.55

【详解】（1）解：«=20x0.7=14.160

（2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是055.

饵巩固练习

课堂练习：课本随堂练习

参考答案：1.（1）从左到右依次填写：0.900,0.800,0.820,0.880,0.840,0.858,0.861;⑵略;（3）概率

大约是0.861.

m真题感知

1.（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本

书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）

A.gB.（C-D.：

【解答】解：,・•某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本

书的长文本阅读活动，

・•・小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为j

4

故选：C.

2.（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字），

若向上一面出现数字1的概率为%出现数字2的概率为%则该木块不可能是（）

【解答】解：,・,向上一面配现数字1的概率为g出现数字2的概率为%

・・.6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”,

・・・只能有一个面标有“3”，

・,・该木块不可能是选项人

故选:A.

3.（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机

抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（）

A.：B.（C-D.g

【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中戏剧类社团活动的结果有1种，

・••抽中戏剧类社团活动的概率为｛

故选：D.

05随堂笔记

知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时,事件发生的频率都会在一个常数附近摆

动.（2）概率的定义：刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A发生的概率，记为P（A）.

（3）概率的取值范围：必然事件概率为L不可能事件概率为Q，随机事件概率在g1之间.（4）

频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；大量重复试验中，常用频率

来估计概率.

方法总结：（1）统计思想：用数据说话，用频率估计概率.（2）转化思想：将不确定事件的概

率问题转化为频率分析问题.（3）数形结合：折线统计图直观展示频率变化趋势.

易错提醒：（1）频率不等于概率:频率是试验值,会随试验次数变化;概率是理论值，是稳

定的常数.（2）以偏概全：不能用少量试验的频率代表概茎，试验次数太少时结论不可靠.（3）概

率为0.5不等于各一半:概率为0.5表示可能性相等,但不意味着在少量试验中一定各占一半.（4）

混淆三类事件的概率：随机事件的概率在0和1之间,不等于。也不等于1.

3.3等可能事件的概率（第1课时；认识等可能事件（古典概型）的概率及

计算公式）（导学案）

01学习目标

I.教学目标

⑴理解等可能事件（古典概型）的概念，掌握其两个基本特征（有限性、等可能性）；掌握古典概型的概率

计算公式P（A）=‘；能运用公式L算简单随机事件的概率.

n

⑵经历从具体情境中抽象出古典概型特征的过程，体会数学模型思想；通过列举试验结果，掌握有序枚举、

不重不漏的计数方法；在解决实际问题的过程中，培养分析问题和逻辑推理能力.

⑶通过探究活动，感受概率计算的简洁美和数学模型的普适性；在小组合作中培养交流能力：了解概率的

数学史，感受数学文化的魅力.

m

重点：理解古典概型的两个基本特征，掌握概率计算公式P（A尸一.

n

难点：判断一个试验是否为等可能事件；正确、不重不漏地列举所有可能结果及事件包含的结果数.

第一环节自主学习

创设情景，引入新课

问题1：任意掷一枚质地均匀的硬而，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能性相同吗？正面朝上的概

率是多少？

可能出现正面朝上或反面朝上，两种结果可能性相同，正面朝上的概率是!.

2

问题2：一个袋中有5个球，分别标有123,4,5这5个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个

球。会出现哪些可能的结果？每个结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少？

1

可能出现1号、2号、3号、4号、5号球，每个结果出现的可能性相同，概率都是A.

追问：这两个试验有什么共同特点？引入课题.

新知探窕

【学法指导】

新知自研：自研课本第72-73页的内容

【学法指导】自研课本P72-73页内容

（一）认识等可能事件

小组讨论：结合以上两个试验，以及你还能想到的其他试验（如掷骰子），讨论它们有什么共同点？

所有可能结果有有限个；每个结果出现的可能性相同.

师生归纳：设一个试验的所有可能结果有n个，每次试验有且只有其中的一个结果出现如果每个结果出现的

可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的.

等可能事件的两个基本特征：的限性（结果个数有限）、等可能性（每个结果出现的可能性相同）

想一想：你能再举出一些结果是等可能的试验吗？

抽签、转盘（被等分）、从班级随机抽取一名学生等.

（二）可能事件概念辨析

问题：以下试验的结果是等可能的吗？为什么？

①从装有2个红球和3个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到红球和白球.

②掷一一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下.

③从男女生人数不等的班级中随机抽取•名学生，抽到男生和女生.

①不是等可能的，因为红球和白球数量不同，摸到每个球的可能性相同，但摸到红球和白球这两种结果

对应的基本事件个数不同.

②不是等可能的，因为图钉形状不对称.

③不是等可能的，因为男生和女生人数不等.

追问：要判断一个试验是否为等可能事件，关键看什么？

归纳：关键是看每个基本结果（如每一个具体的球）出现的可能性是否相同，而不是看类别结果（如颜

色）。

（三）等可能事件概率公式推导

问题：如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率P（A）是多少？

1m

引导发现：每个结果出现的概率都是一事件A包含m个结果，所以P（A尸一

nn,

归纳结论：

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为：

m

P（A）=—

n

强调：便用这个公式的前提是试验结果必须显等可能的！

（四）概率的取值范围

讨论：必然事件：P（A）=1；

不可能事件:P（A）=O；

概率的取值范围：O<P（A）<1；

【自研自探】

自研课本P72.73页内容

典型例题

例1.任意掷一枚均匀的骰子。

（1）掷出的点数大于4的概率是多少？

（2）掷M的点数是偶数的概率是多少？

【详解】解:任意掷一枚均匀骰子，所有可能的结果有6种：掷出的点数分别是123,4,5,6。因为骰子是均匀

的，所以每种结果出现的可能性相等。

（1）掷出的点数大于4的结果有2种：掷出的点数分别是5,6。所以P（掷出的点数大于4）=3=g.

63

（2）掷出的点数是偶数的结果有3种：掷出的点数分别是2,4,6.所以P（掷出的点数是偶数户

62

例2.（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字），若向上一

面出现数字1的概率芍出现数字2的概率为9则该木块不可能是（）

【解答】解：••・向上一面出现数字1的概率为不出现数字2的概率为:，

23

••6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”，

・•・只能有一个面标有“3”,

该木块不可能是选项A.

故选：A.

第二环节合作探究

1.讨论什么是等可能事件？其基本特征是什么？

2.讨论怎样判断一个试验是否为等可能事件，关键看什么？

3.讨论怎样推导等可能事件概率公式？使用这个公式的前提是什么？

4.讨论概率的取值范围是什么？

拓展提升：1.（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面

分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“阿”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张々片背面朝上

洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山''的概率是（）

甲

甲

岑

木

骨

骨

文

曲

文

文

美

河

山

1

D.

2

【解答】解：列表如下:

美丽山河

美（美，（美，（美，河）

丽〕山）

丽（丽，（丽，（丽，河）

美）山）

山（山，（山，（山,河）

美）丽）

河（河，（河，（河，

美）明）山）

共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，

丽），共2种，.•.这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为

126

故选:B.

你巩固练习

课堂练习：课本P79随堂练习

参考答案：1.会出现摸到写有字母A的纸条、摸到写有字母B的纸条、摸到写有字母C的纸条、摸到写有字母

D的纸条、摸到写有字母E的纸条这5种可能的结果;它们是等可能的.

1213

2.抽到大王的概率是口，抽到3的概率是石，抽到方块的概率是次;抽到大王的概率比抽到3的概率小,

所以打牌时抽到大王的机会比抽到3的机会小.

04真题感知

1.（202S•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅

读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）

1112

A.-B.-C.-D.-

2343

【解答】解：•.•某校进行《九堂算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅

读活动，.••小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为故选：C.

2.（2025•齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么

2只雏鸟都是雄鸟的概率是（）

1121

A.-B.-C.-D.-

2334

【解答】解：共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，再由概率公式求解即可.

共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，二2只雏鸟都是雄鸟的概率是士

4

故选：D.

3.（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团

活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（）

2111

A.-B.-C.-D.-

5345

【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中戏剧类社团活动的结果有1种,

抽中戏剧类社团活动的概率为｝

故选：D.

05随堂笔记

知识总结：（1）等可能事件（占典概型）的两个基本特征：①所有可能的结果是有限的（有限性）；

②每个结果出现的可能性相同（等可能性）.（2）概率计算公式：如果一个试验有n个等可能的结果，事

m

件A包含其中的m个结果，则P（A）=—.（3）概率的取值范围：0<P（A）<l；必然事件；P（A）=1；不可能事

n

件：P（A）=0.

方法总结：（1）数学模型思想：将随机现象抽象为古典概型这•数学模型.（2）列举法：有存、不重不漏

地列举所有可能结果.（3）转化思想：复杂概率问题转化为基本事件的计数问题.

易错提醒：（I）等可能性判断错误：误认为只有两种结果就是笠亘幽（如摸到红球和白球），实际要看

每个基本结果是否等可能.（2）列举遗漏或重复:列举结果时要有序思考.（3）公式使用条件忽略:使用P（A尸

m

一前，必须先判断试验是否为等可能事件.（4）混淆分子分母：分子是事件A包含的结果数,分母是所有亘

n

能结果总数.

3.3等可能事件的概率（第2课时：计算等可能事件概率，设计符合要求

的简单概率模型）

（导学案）

01学习目标

1.教学目标

（1）能根据给定的概率要求，设计符合要求的简单概率模型（如摸球游戏游戏）；能运用概率知以判断并修

改游戏规则的公平性：能用概率模型解释生活中的随机现象.

（2）经历从概率值逆向构造概率模型的过程，培养逆向思维和模型观念；通过小组合作设计游戏方案，培养

合作交流能力和创新意识.

（3）在设计游戏方案的过程中，感受数学的创造性和趣味性；通过解决实际问题，体会数学的应用价值，增

强学习数学的兴趣和信心.

重点：能根据给定的概率要求，设计简单的概率模型（如摸球游戏）.

难点：理解概率模型的本质——所有可能结果等可能，且事件包含的结果数与总结果数之比等于给定概

率；设计出满足条件的多种可行方案.

第一环节自主学习

温故知新：

复习回顾：上节课我们学习了等可能事件的概率计算公式，谁能说说？使用这个公式的前提是什么？

学生回答：P（A尸色，前提是试验结果必须是等可能的.

n

追问：如果老师告诉你一个摸球游戏中摸到红球的概率是竺，你能设计出这个摸球游戏吗？袋中应该放几

n

个球？红球有几个？”

学生猜测：可能回答放3个球，1个红球；也可能回答放6个球，2个红球……

教师引导：“看来答案不唯一！今天我们就来学习——如何根据概率要求设计简单的概率模型。”

新知探窕

【学法指导】

新知自研：自研课本第74・75页的内容

【学法指导】自研课本P74-75页内容

（一）摸球游戏设计

问题呈现：一个袋中装有除颜色外完全相同的若干个球。请设计一个摸球游戏，使得：（1）摸到红球的概

率是1/2：（2）摸到红球的概率是2/5.

小组讨论：学生分组讨论设计方案.

对干（1）：可以放2个球，1红1其他；或4个球，2红2其他：或6个球，3红3其他……只要红球数占总球数

的一半即可。

对于（2）：可以放5个球，2红3其他；或10个球，4红6其他……只要红球数:总球数=2:5即可.

追问：除了红球和其他颜色的球，还可以加入其他颜色的球吗？

学生思考：可以，只要红球数占总球数的比例符合要求即可.

教师归纳：设计摸球游戏时，关键是确定总球数n和红球数m,使得m/n等于给定的概率。n和m可以取满足

比例关系的任意正整数.

（二）游戏公平性

问题呈现：小明和小丽想用掷骰子的方式决定谁去看电影。小明说：“朝上的点数大于3,我去：点数小于3,

小丽去；点数等于3,重掷。”这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则。

学生分析：点数大于3：456,有3种结果

点数小于3：1,2,有2种结果

P（小明去）=3/6=I/2,P（小丽去）=2/6=1/3

1/2句/3,不公平.

修改方案：

方案1：大于3小明去，小于等于3小丽去（两人概率都是1/2）；

方案2：奇数小明去，偶数小丽去（两人概率都是1/2）.

归纳：游戏公平意味着双方获胜的概率相等，即P（甲尸P（乙）=1/2.

（三）设计符合要求的简单概率模型

问题：设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率是1/3,摸到白球的概率是1/2,摸到黄球的概率是1/6。你能设

计出几种不同的方案？

小组合作：学生分组讨论，寻找多种设计方案。

方案展不：

方案1：总球数6个，红球2个，白球3个，黄球1个

方案2：总球数12个，红球4个，白球6个，黄球2个

方案3：总球数18个，红球6个，白球9个，黄球3个

追问：这些方案有什么共同特点？

归纳：红:白:黄=2:3:1,即比例关系决定，总球数可以是比例之和的整数倍.

（四）概率计算一从模型到概率

问题：一个袋中装有4个红球、6个白球和10个黄球（每个球除颜色外都相同）.从中任意摸出一个球，求:

（1）P（摸到红球）（2）P（摸到白球）（3）P（摸到黄球）.

学生独立计算：

P（红）=4/20=1/5P（白）=6/20=3/10P（黄尸10/20=1/2

追问：P（红）+P（白）+P（黄）=1,说明了什么？

归纳：所有可能结果的概率之和等于1.

【自研自探】

自研课本P74-75页内容

典型例题

例1.利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏.

(1)使得摸到红球的概率是工，摸到白球的概率也是_1：

22

(2)使得摸到红球的概率是摸到白球和黄球的概率都是

24

(3)你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？

(4)你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗?你是怎样设计的？

【分析】本环节让学生设计满足一定概率要求的摸球游戏，进一步理解古典概型的概率计算公式.可要求学

生说明自己的思考过程，总结解决相关问题的思考策略.

【详解】解：(1)2个红球，2个白球；

(2)2个红球，1个白球，1个黄球；

(3)选取8个球时:①4个红球，4个白球;②4个红球，2个白球，2个黄球；

(4)选取7个球，无法设计满足所述条件的游戏.

例2：问题：设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率是3/10,摸到白球的概率是3/10,摸到黄球的概率是

2/5,最少需要多少个球？如何放置？

【分析】概率比：3/10:3/10:2/5=3:3:4,三种球的最少球数=3+3+4=10个.

【详解】解：摸到红球、白球、黄球的概率比：3/10:3/10:2/5=3:3:4,三种球的最少球数=3+3+4=10个.

所以可以文墨：红球3个，白球3个，黄球4个.

第二环节合作探究

1.讨论摸球游戏如何设计？

2.讨论游戏是否公平性？

3.讨论设计符合要求的简单概率模型？

4.讨论如何计算概率——从模型到概率？

拓展提升：1.(2025•苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，

搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为全则红球的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：设红球的个数为x个,

由题意得：w=

解得：x=2,

经检验，x=2是原方程的解，且符合题意,

即红球的个数为2个，

故选:B.

R巩固练习

课堂练习：课本P76随堂练习

参考答案：l.U2.-H这个问题与第1题的背景虽然不同，但实质是相同的，最后的结果也是相

2020

同的。实际上，第I题中“写有男生姓名的纸条''相当于第2题中的“红球”，第I题中“写有女生姓名的纸条”

相当于第2题中的“白球”.

m真题感知

1.（2025•台湾）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌

被自己盖住的情形.今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机

会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大

的机率为何？（）

H

嘉

阿

H

榻

小

12

B--

9D.9

【解答】解：•.■阿嘉比小杨人的情形有：

阿皋翻开的那张牌上的数字为2,小杨翻开的那张牌上的数字为I,

阿嘉翻开的那张牌上的数字为4,小杨翻开的那张牌上的数字为I或3,

阿嘉翻开的那张牌上的数字为5,小杨翻开的那张牌上的数字为1或3或4,

而所有的情形共有3x3=9（种），

••・阿嘉比小杨大的机率为!

故选：B.

2.（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张

牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为3.

【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果，

所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为J

4N

故答案为：

3.（2025•天津）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其

他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为—.

【解答】解：从袋子中随机取出1个球共有13种等可能结果，其中它是绿球的有6种结果，

所以从袋子中随机取出1个球，是绿球的概率为三，

13

故答案为：白

4.（2025.蒙城统考）问题：用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得：（1）摸到白球的概率为

1/2,摸到红球的概率也是1/2；

（2）摸到红球的概率为1/2,摸到白球和黄球的概率都是1/4.

【解答】解：（1）2个白球、2个红球：（2）2个红球、1个白球、1个黄球.

05随堂笔记

知识总结：（1）设计概率模型的核心：确定总结果数n和事件包含的结果数m,使得皿等于给定的概率，

n和m可以取满足比例关系的任意正整数.（2）设计摸球游戏的要点：各色球的数量比=各事件的概率比,

所有可能结果的概率之和等于1.（3）游戏公平的条件：双方获胜的概率相等.

方法总结：（1）逆向思维：从概率值反推模型结构.（2）模型思想：用数学模型刻画随机现象.（3）比例思

想：概率值决定数量之间的比例关系.（4）优化思想：在满足条件的前提下追求最简方案.

易错提醒：（I）比例计算错误：多个事件的概率之和必须等于L设计前应先验证.（2）忽略最简整数比：

设计方案时，应将概率比化为最简整数比,再确定数量.（3）混淆颜色与球：摸球设计中，同色球视为相同

结果,但不同颜色的球数量决定