2026高考数学高频考点对点练：统计（教师版）

统计

一．选择题（共10小题）

1．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A．气候温度高，海水表层温度就高

B．气候温度高，海水表层温度就低

C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【解析】成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，

所以A、B、D选项错误．

故选：C．

2．已知一组数据1，2，3，4，m的75%分位数是m，则m的取值范围为（）

A．[3，4）B．[2，3]C．[3，4]D．{4}

【答案】C

【解析】一组数据1，2，3，4，m共有5个数，

由5×75%＝3.75，则这组数据的75%分位数是第四个数，

也就是把该组数据从小到大排列，m为第四个数，

则m的范围为[3，4]．

故选：C．

．有一组样本数据，，，，其平均数为，方差为，若样本数据﹣，﹣，，﹣的平均数为，

3x1x2⋯xnx1+1x2+1⋯xn+1

2

方差为，则（）�1�1�2

2

A．�2B．

2121

C．�=�−1D．�＞=�

2222

【答�案1=】�C2�1�2

【解析】因为样本数据，，，，其平均数为，方差为，

x1x2⋯xn

2

所以样本数据﹣，﹣，，﹣的平均数�1�1，方差（﹣）2．

x1+1x2+1⋯xn+111

222

故选：C．�2=−�1+�2=�1=�1

4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下

表：

亩产[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）

量

生产61218302410

数

据表中数据，结论中正确的是（）

A．100块稻田亩产量中位数小于1050kg

B．100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】对于A，根据频率分布表知，6+12+18＝36＜50，所以100块稻田亩产量中位数不小于1050kg，选项A错

误；

对于B，亩产量不低于1100kg的稻田频数为24+10＝34，所以亩产量低于1100kg的稻田所占比例为66%，

100−34

=

选项B错误；100

对于C，亩产量的极差最大值为1200﹣900＝300，最小值为1150﹣950＝200，所以极差介于200kg至300kg之间，

选项C正确；

对于D，估计平均数为（6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175）＝1067，选项D错误．

1

故选：C．�=100

5．鸢是鹰科的一种鸟，《诗经•大雅•旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”．鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏

程万里、前途无量．通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制对应散

点图（图2）如下：

计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为0.7501x+0.6105．根据以上信息，如

̂

下判断正确的为（）�=

A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系

B．花萼长度和花瓣长度负相关

C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm

D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

【答案】C

【解析】∵相关系数r＝0.8642＞0.75，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，

∴花瓣长度和花萼长度呈正相关，且相关性较强，∴A，B选项错误；

当x＝7时，代入经验回归方程为0.7501x+0.6105，可得y＝5.8612，

̂

∴花萼长度为7cm的该品种鸢尾花�的=花瓣长度的平均值约为5.8612cm，∴C选项正确；

若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定是0.8642，∴D选项错误．

故选：C．

6．如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（）

A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大

B．从2018年开始，进出口总额逐年增大

C．从2018年开始，进口总额逐年增大

D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

【答案】C

【解析】显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；

统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；

2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；

显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，

且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．

故选：C．

7．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座

前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：

则（）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：

60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，

∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；

对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：

（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；

1

1对0于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，

∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；

对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，

讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，

∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．

故选：B．

8．将1916年到2015年的全球年平均气温（单位：℃），共100个数据，分成6组[13.55，13.75），[13.75，13.95），[13.95，

14.15），[14.15，14.35），[14.35，14.55），[14.55，14.75]，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温

在区间[14.35，14.75]内的有（）

A．22年B．23年C．25年D．35年

【答案】B

【解析】根据频率分布直方图可得，[14.35，14.75]频率为0.5×0.2+0.65×0.2＝0.23，

所以全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有100×0.23＝23年．

故选：B．

9．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，

74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）

A．20B．40C．64D．80

【答案】D

【解析】由频率分布直方图知，

评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，

故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，

故选：D．

10．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛，现按比例

分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计：m+n名学生的平均成绩为74分，其中

m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x＝（）

A．74B．76C．78D．80

【答案】D

【解析】m+n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，

，

得可得，解得x＝80．

�600，

�=20072×3+�

=74

72�+��3+1

故选：�D+．�=74

二．多选题（共4小题）

（多选）．有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则（）

11x1x2⋯x6x1x6

．，，，的平均数等于，，，的平均数

Ax2x3x4x5x1x2⋯x6

．，，，的中位数等于，，，的中位数

Bx2x3x4x5x1x2⋯x6

．，，，的标准差不小于，，，的标准差

Cx2x3x4x5x1x2⋯x6

．，，，的极差不大于，，，的极差

Dx2x3x4x5x1x2⋯x6

【答案】BD

【解析】选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；

Ax2x3x4x5x1x2⋯x6A

选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；

Bx2x3x4x5x1x2⋯x6B

�3+�4�3+�4

选项，设样本数据，，，为，，，，，，可知，，，的平均数是，，，，的

Cx1x2⋯x602128910x1x2⋯2x65x2x3x4x5

平均数是5，

，，，的方差（﹣）2（﹣）2（﹣）2（﹣）2（﹣）2（﹣）2，

x1x2⋯x6[05+15+25+85+95+105]

2150

�1=×=

622223

x2，x3，x4，x5的方差[（1﹣5）+（2﹣5）+（8﹣5）+（9﹣5）]，

2125

�2=×=

＞，∴s1＞s2，C错误4．2

22

12

D�选项�，x6≥x5，x2≥x1，∴x6﹣x1≥x5﹣x2，D正确．

故选：BD．

（多选）12．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，

n），c为非零常数，则（）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；

对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；

对于C，∵标准差D（yi）＝D（xi+c）＝D（xi），

∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；

对于D，∵yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，

x的极差为xmax﹣xmin，y的极差为（xmax+c）﹣（xmin+c）＝xmax﹣xmin，

∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．

故选：CD．

（多选）13．下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有（）

A．样本x1，x2，…，xn的标准差

B．样本x1，x2，…，xn的中位数

C．样本x1，x2，…，xn的极差

D．样本x1，x2，…，xn的平均数

【答案】AC

【解析】中位数是反应数据的变化，

方差是反应数据与均值之间的偏离程度，

极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，

平均数是反应数据的平均水平，

故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．

故选：AC．

（多选）14．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下

列说法正确的是（）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

【答案】CD

【解析】由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；

由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；

第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；

故选：CD．

三．填空题（共4小题）

15．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两

个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．

17

【答案】见试题解答内容215

【解析】记前三个球的号码分别为a、b、c，则共有种可能，

3

�6=120

令可得：|a+b﹣2c|≤3，

�+��+�+��+�−2�

根据|�对−称�|性=：|c＝21−或63时，|均=有|2种6可能|；≤0.5

c＝2或5时，均有10种可能；

c＝3或4时，均有16种可能；

故满足条件的共有56种可能，

．

567

�==

故答1案20为：15．

7

16．某校抽取1050名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方

图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为7．

【答案】见试题解答内容

【解析】极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，

6.4，故组数为7组，

32

=

故5答案为：7．

17．现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度

的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为946（亿元）．

【答案】946（亿元）．

【解析】设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，

∵中位数与平均数相同，

∴，

�+�232+�+�+241

=

∴x+2y＝473，4

∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．

故答案为：946（亿元）．

18．已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则a的值是2．

【答案】见试题解答内容

【解析】一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，

则4+2a+（3﹣a）+5+6＝4×5，

解得a＝2．

故答案为：2．

四．解答题（共6小题）

19．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，

数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品

率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果

�

＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化

�(1−�)

升�级改造后，该�工厂产品的优级品率提高了？（12.247）

附：K2，150≈

2

�(𝑎−��)

=

P(（�+K�2)≥(�k+）�)(�+�)(�+�)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】见试题解答内容

【解析】（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

零假设H0：根据＝0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，

α

X24.6875＞3.841，

2

150×(70×24−26×30)

有=95%的96把×握54认×5为0×甲1、00乙两=车间产品的优级品率存在差异；

零假设H0：根据＝0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，

4.6875＜6.635，没α有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．

（2）由题意得0.64，p+1.650.5+1.650.57，

96�(1−�)0.5×0.5

�===×≈

所以＞p+1.65150，故有优化提升．�150

�(1−�)

20．为了�解某地初中学�生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼

时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．

（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

【答案】（1）12500人；

（2）0.9h；

（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关

【解析】（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比，

42+3+1+137+40+2725

�==

该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为580；58

25

（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为29000×58=12500

[0.5×（5+134）（4+147）（42+137）（3+40）（1+27）]0.9h；

111+0.51+1.51.5+22+2.527

××+×+×+×+×=≈

5（830）由2题意可得2×2列联表2，22229

[1，2）其他总数

优秀455095

不优秀177308485

①提出零假设H0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，

②确定显著性水平＝0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，

α

③＞，

2

2580×(45×308−177×50)

④否�定=零(4假5+设50，)×即(1学7业7+成30绩8)优×(秀45与+日17均7)体×(育50锻+3炼08时)长≈不3.9小7于613小.84时1且小于2小时有关．

21．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，

数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品

率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果

�

＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化

�(1−�)

升�级改造后，该�工厂产品的优级品率提高了？（12.247）

附：K2，150≈

2

�(𝑎−��)

=

P(（�+K�2)≥(�k+）�)(�+�)(�+�)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】见试题解答内容

【解析】（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

零假设H0：根据＝0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，

α

X24.6875＞3.841，

2

150×(70×24−26×30)

有=95%的96把×握54认×5为0×甲1、00乙两=车间产品的优级品率存在差异；

零假设H0：根据＝0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，

4.6875＜6.635，没α有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．

（2）由题意得0.64，p+1.650.5+1.650.57，

96�(1−�)0.5×0.5

�===×≈

所以＞p+1.65150，故有优化提升．�150

�(1−�)

22．某厂�为比较甲乙两�种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个

橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种

工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…10）．试验结果如下：

试验序号12345678910

i

伸缩率xi545533551522575544541568596548

伸缩率yi536527543530560533522550576536

记＝﹣（＝，，，），记，，，的样本平均数为，样本方差为2．

zixiyii12⋯10z1z2⋯z10s

（1）求，s2；�

�

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果2，

2

�

则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有�显≥著提10高）

【答案】见试题解答内容

【解析】（1）根据表中数据，计算zi＝xi﹣yi（i＝1，2，…，10），填表如下：

试验序号12345678910

i

伸缩率xi545533551522575544541568596548

伸缩率yi536527543530560533522550576536

zi＝xi﹣yi968﹣8151119182012

计算平均数为zi（9+6+8﹣8+15+11+19+18+20+12）＝11，

1101

�=�=1=×

方差为s21010[（﹣2）2+（﹣5）2+（﹣3）2+（﹣19）2+42+02+82+72+92+12]＝61．

11021

�=1�

=10(�−�)=10×

（2）由（1）知，11，22＜25，

2

�

�==6.16.25=

所以2，认为甲工艺处1理0后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

2

�

23．一项�试≥验旨10在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配

到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠

体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（1）计算试验组的样本平均数；

（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成

如下列联表；

＜m≥m

对照组

试验组

（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差

异？

附：K2，

2

�(𝑎−��)

=

P（K(2�≥+�k）)(�+�)(�+�)(�+0�.)1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【答案】（1）19.8．

（2）（i）中位数是23.4；列联表是

＜m≥m合计

对照组61420

试验组14620

合计