2026高考数学高频考点对点练：空间向量与立体几何（教师版）

空间向量与立体几何

一、解答题

1．如图，在四棱锥PABCD中，BC//AD，ABBC1，AD3,点E在AD上，且PEAD，PEDE2．

(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．

(2)若AB平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

30

(2)

30

【解析】（1）取PD的中点为S，接SF,SC，可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BF//平面PCD.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值.

1

（1）取PD的中点为S，接SF,SC，则SF//ED,SFED1，

2

而ED//BC,ED2BC，故SF//BC,SFBC，故四边形SFBC为平行四边形，

故BF//SC，而BF平面PCD，SC平面PCD，

所以BF//平面PCD.

（2）

因为ED2，故AE1，故AE//BC,AE=BC，

故四边形AECB为平行四边形，故CE//AB，所以CE平面PAD，

而PE,ED平面PAD，故CEPE,CEED，而PEED，

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则A0,1,0,B1,1,0,C1,0,0,D0,2,0,P0,0,2，

则PA0,1,2,PB1,1,2,PC1,0,2,PD0,2,2,

设平面PAB的法向量为mx,y,z，

mPA0y2z0

则由可得，取m0,2,1，

mPB0xy2z0

设平面PCD的法向量为na,b,c，

nPC0a2b0

则由可得，取n2,1,1，

nPD02b2c0

130

故cosm,n，

5630

30

故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为

30

2．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，

AD4,ABBCEF2，ED10,FB23，M为AD的中点．

(1)证明：BM//平面CDE；

(2)求二面角FBME的正弦值．

【答案】(1)证明见详解；

43

(2)

13

【解析】（1）结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证BM//CD，进而得证；

（2）作BOAD交AD于O，连接OF，易证OB,OD,OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.

（1）因为BC//AD,EF2,AD4,M为AD的中点，所以BC//MD,BCMD，

四边形BCDM为平行四边形，所以BM//CD，又因为BM平面CDE，

CD平面CDE，所以BM//平面CDE；

（2）如图所示，作BOAD交AD于O，连接OF，

因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD4,ABBC2，所以CD2，

结合（1）BCDM为平行四边形，可得BMCD2，又AM2，

所以ABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB3，

又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EFMD,EF//MD，

四边形EFMD为平行四边形，FMEDAF，

所以△AFM为等腰三角形，ABM与△AFM底边上中点O重合，OFAM，OFAF2AO23，

因为OB2OF2BF2，所以OBOF，所以OB,OD,OF互相垂直，

以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立Oxyz空间直角坐标系，

F0,0,3，B3,0,0,M0,1,0,E0,2,3，BM3,1,0,BF3,0,3，

BE3,2,3，设平面BFM的法向量为mx1,y1,z1，

平面EMB的法向量为nx2,y2,z2，

mBM03x1y10

则，即，令，得y3,z1，即m3,3,1，

x1311

mBF03x13z10

nBM03xy0

则，即22，令，得y3,z1，

x2322

nBE03x22y23z20

mn111143

即n3,3,1，cosm,n，则sinm,n，

mn13131313

43

故二面角FBME的正弦值为.

13

3．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，ABAD,AB//DC，ABAA12,ADDC1．M,N分

别为DD1,B1C1的中点，

(1)求证：D1N//平面CB1M；

(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；

(3)求点B到平面CB1M的距离．

【答案】(1)证明见解析

222

(2)

11

211

(3)

11

【解析】（1）取CB1中点P，连接NP，MP，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得D1N//MP，结合线面平行

判定定理即可得证；

（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；

（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.

（1）取CB1中点P，连接NP，MP，

1

由N是B1C1的中点，故NP//CC，且NPCC，

121

11

由M是DD1的中点，故DMDDCC，且D1M//CC1，

12121

则有D1M//NP、D1MNP，

故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N//MP，

又MP平面CB1M，D1N平面CB1M，

故D1N//平面CB1M；

（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有A0,0,0、B2,0,0、B12,0,2、M0,1,1、C1,1,0、C11,1,2，

则有、、，

CB11,1,2CM1,0,1BB10,0,2

设平面CB1M与平面BB1CC1的法向量分别为mx1,y1,z1、nx2,y2,z2，

mCB1x1y12z10nCB1x2y22z20

则有，，

mCMx1z10nBB12z20

分别取x1x21，则有y13、z11、y21，z20，

即m1,3,1、n1,1,0，

mn13222

则cosm,n，

mn1911111

222

故平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值为；

11

（）由，平面的法向量为，

3BB10,0,2CB1Mm1,3,1

BB1m2211

则有，

m19111

211

即点B到平面CB1M的距离为.

11

2

4．如图，平面四边形ABCD中，AB8，CD3，AD53，ADC90，BAD30，点E，F满足AEAD，

5

1

AFAB，将△AEF沿EF翻折至PEF，使得PC43．

2

(1)证明：EFPD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

865

(2)

65

【解析】（1）由题意，根据余弦定理求得EF2，利用勾股定理的逆定理可证得EFAD，则EFPE,EFDE，结合

线面垂直的判定定理与性质即可证明；

（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PEED，建立如图空间直角坐标系Exyz，利用空间向量法

求解面面角即可.

21

（1）由AB8,AD53,AEAD,AFAB，

52

得AE23,AF4，又BAD30，在△AEF中，

3

由余弦定理得EFAE2AF22AEAFcosBAD161224232,

2

所以AE2EF2AF2，则AEEF，即EFAD，

所以EFPE,EFDE，又PEDEE,PE、DE平面PDE，

所以EF平面PDE，又PD平面PDE，

故EFPD；

（2）连接CE，由ADC90,ED33,CD3，则CE2ED2CD236，

在PEC中，PC43,PE23,EC6，得EC2PE2PC2，

所以PEEC，由（1）知PEEF，又ECEFE,EC、EF平面ABCD，

所以PE平面ABCD，又ED平面ABCD，

所以PEED，则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系Exyz，

则E(0,0,0),P(0,0,23),D(0,33,0),C(3,33,0),F(2,0,0),A(0,23,0)，

由F是AB的中点，得B(4,23,0)，

所以PC(3,33,23),PD(0,33,23),PB(4,23,23),PF(2,0,23)，

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n(x1,y1,z1),m(x2,y2,z2)，

nPC3x133y123z10mPB4x223y223z20

则，，

nPD33y123z10mPF2x223z20

令y12,x23，得x10,z13,y21,z21，

所以n(0,2,3),m(3,1,1)，

mn165

所以cosm,n，

mn51365

865

设平面PCD和平面PBF所成角为，则sin1cos2，

65

865

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为.

65

【小结】

5．如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAABBC1，PC3．

(1)求证：BC平面PAB；

(2)求二面角APCB的大小．

【答案】(1)证明见解析

π

(2)

3

【解析】（1）先由线面垂直的性质证得PABC，再利用勾股定理证得BCPB，从而利用线面垂直的判定定理即可

得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的

坐标表示即可得解.

（1）因为PA平面ABC,BC平面ABC，

所以PABC，同理PAAB，

所以PAB为直角三角形，

又因为PBPA2AB22，BC1,PC3，

所以PB2BC2PC2，则PBC为直角三角形，故BCPB，

又因为BCPA，PAPBP，

所以BC平面PAB.

（2）由（1）BC平面PAB，又AB平面PAB，则BCAB，

以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，

所以AP(0,0,1),AC(1,1,0),BC(0,1,0),PC(1,1,1)，

mAP0z10,

设平面PAC的法向量为mx,y,z，则，即

111

mAC0x1y10,

令x11，则y11，所以m(1,1,0)，

nBC0y20

设平面PBC的法向量为nx,y,z，则，即，

222

nPC0x2y2z20

令x21，则z21，所以n(1,0,1)，

mn11

所以cosm,n，

mn222

又因为二面角APCB为锐二面角，

π

所以二面角APCB的大小为.

3

6．如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，

点F在AC上，BFAO．

(1)求证：EF//平面ADO；

(2)若POF120，求三棱锥PABC的体积．

【答案】(1)证明见解析

26

(2)

3

【解析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）作出并证明PM为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

1

（1）连接DE,OF，设AFtAC，则BFBAAF(1t)BAtBC，AOBABC，BFAO，

2

121

则BFAO[(1t)BAtBC](BABC)(t1)BAtBC24(t1)4t0，

22

1

解得t，则F为AC的中点，由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点，

2

11

于是DE//AB,DEAB,OF//AB,OFAB，即DE//OF,DEOF，

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EFDO，又EF平面ADO,DO平面ADO，

所以EF//平面ADO.

（2）过P作PM垂直FO的延长线交于点M，

因为PBPC,O是BC中点，所以POBC，

1

在Rt△PBO中，PB6,BOBC2，

2

所以POPB2OB2622，

因为ABBC,OF//AB，

所以OFBC，又POOFO，PO,OF平面POF，

所以BC平面POF，又PM平面POF，

所以BCPM，又BCFMO，BC,FM平面ABC，

所以PM平面ABC，

即三棱锥PABC的高为PM，

因为POF120，所以POM60，

3

所以PMPOsin6023，

2

11

又S△ABBC22222，

ABC22

1126

所以VS△PM223.

PABC3ABC33

7．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2,AA14．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，

AA21,BB2DD22,CC23．

∥

(1)证明：B2C2A2D2；

(2)点P在棱BB1上，当二面角PA2C2D2为150时，求B2P．

【答案】(1)证明见解析；

(2)1

【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

（2）设P(0,2,)(04)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.

（1）以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)，

B2C2(0,2,1),A2D2(0,2,1)，

∥

B2C2A2D2，

，

又B2C2A2D2不在同一条直线上，

∥

B2C2A2D2.

（2）设P(0,2,)(04)，

则A2C2(2,2,2),PC2(0,2,3),D2C2=(2,0,1)，

设平面PA2C2的法向量n(x,y,z)，

nA2C22x2y2z0

则，

nPC22y(3)z0

令z2，得y3,x1，

n(1,3,2)，

设平面A2C2D2的法向量m(a,b,c)，

mA2C22a2b2c0

则，

mD2C22ac0

令a1，得b1,c2，

m(1,1,2)，

nm63

cosn,mcos150，

nm64(1)2(3)22

化简可得，2430，

解得1或3，

P(0,2,1)或P(0,2,3)，

B2P1.

8．如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，E为BC的中点．

(1)证明：BCDA；

(2)点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

3

(2)．

3

【解析】（1）根据题意易证BC平面ADE，从而证得BCDA；

（2）由题可证AE平面BCD，所以以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，再

求出平面ABD,ABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．

（1）连接AE,DE，因为E为BC中点，DBDC，所以DEBC①，

因为DADBDC，ADBADC60，所以ACD与△ABD均为等边三角形，

ACAB，从而AEBC②，由①②，AEDEE，AE,DE平面ADE，

所以，BC平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA．

（2）不妨设DADBDC2，BDCD，BC22,DEAE2．

AE2DE24AD2，AEDE，又AEBC,DEBCE，DE,BC平面BCDAE平面BCD．

以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设D(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,0)，

设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1x1,y1,z1,n2x2,y2,z2，

二面角DABF平面角为,而AB0,2,2，

因为EFDA2,0,2，所以F2,0,2，即有AF2,0,0，

2x2z0

11

，取x11，所以n1(1,1,1)；

2y12z10

2y2z0

22

，取y21，所以n2(0,1,1)，

2x20

n1n22663

所以，cos，从而sin1．

n1n232393

3

所以二面角DABF的正弦值为．

3

9．在平面四边形ABCD中，ADAC，ACBC，如图1所示.现将图1中的ABC沿AC折起，使点B到达点P的

位置，且平面PAC平面PAD，如图2所示.

(1)求证：ADPC；

AD

(2)若PCAC，二面角APDC的大小为60，求的值.

AC

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【解析】（1）由面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直，从而证明线线垂直.

（2）建立空间直角坐标系，将二面角的夹角转化成求平面的法向量的夹角即可求得.

（1）

作CEAP与E，

平面PAC平面PAD，

平面PAC平面ACDPA,

CE平面PAC，

CE平面PAD,因为AD平面PAD，

CEAD,

ADAC,ACCEC，AC,CE平面PAC,

AD平面PAC，又因为PC平面PAC，

ADPC.

（2）BCAC,

PCAC,

又PCAD，ACADA,AC,AD平面ACD,

PC平面ACD,

设PCACa，ADx0

建立如图所示坐标系

则C0,0,0，A0,a,0，Dx0,a,0，P0,0,a，

CP0,0,a，CDx0,a,0，AP0,a,a,ADx0,0,0,

设平面PCD的法向量n1x1,y1,z1，

n1CP0az10

即，

xxay0

n1CD0101

取x1a，则y1x0，z10，n1a,x0,0

设平面PAD的法向量n2x2,y2,z2，

n2AP0ay2az20

即，

xx0

n2AD020

取y21，则x20，z21，n21,0,1,

二面角APDC的大小为60，

n1n2x1

cos6000，

22222

n1n2ax011

22

化简得：2x02a解得：x0a即ADa，

AD

1

AC

π

10．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD，PAC为正三角形，PDPB，H为PC中

3

点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD//平面.

(1)证明：PC平面；

(2)求平面MAC与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

39

(2)

13

【解析】（1）由菱形与正三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直的性质与判定，可得答案；

（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

（1）设ACBDO，则O为AC，BD的中点，连接PO，

因为ABCD为菱形，则ACBD，

又因为PDPB，且O为BD的中点，则POBD，

ACPOO，AC，PO平面PAC，所以BD平面PAC，

且PC平面PAC，则BDPC，

又因为BD//平面AMHN，BD平面PBD，平面AMHN平面PBDMN，

可得BD∥MN，所以MNPC.

又因为PAC为正三角形，所以AHPC

因为MN，AH，且MN与AH相交，

所以PC平面；

（2）因为PAPC，且O为AC的中点，则POAC，

且POBD，ACBDO，AC，BD平面ABCD，所以PO平面ABCD，

设AHPOG，则GAH，GPO，且AH平面AMHN，PO平面PBD，

可得G平面AMHN，G平面PBD，

且平面AMHN平面PBDMN，

所以GMN，即AH，PO，MN交于一点G，

因为H为PC的中点，则G为PAC的重心，

PMPNPG2

且BD∥MN，则，

PBPDPO3

1

由题AB2，PAPC23，OAOCAC3，OBOD1，OP3，

2

如图，以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

2

则A3,0,0，P0,0,3，M0,,1，C3,0,0，

3

2

可得AM3,,1，AC23,0,0，

3

设平面MAC的法向量nx1,y1,z1，

2

nAM3x1y1z10

则3

nAC23x10,

令，则，可得，

y13z12n0,3,2

设平面的法向量为CP3,0,3，

nCP639

可得cosn,CP，

nCP132313

39

所以平面MAC与平面夹角的余弦值为.

13

11．如图，一个直三棱柱ABCA1B1C1和一个正四棱锥PABB1A1组合而成的几何体中，A1B1A1C1,A1B1A1C12

(1)证明：平面PA1B1平面ACC1A1；

(2)若A1P∥平面BB1C1C，求直线AP与平面PBB1所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)

3

【解析】（1）利用线面垂直的性质得到AA1A1B1，结合A1B1A1C1并利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用

面面垂直的判定定理证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，设正四棱锥PABB1A1的高为h，利用A1P∥平面BB1C1C，求h，再利用线面角的向量公

式求解.

（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，

又A1B1平面A1B1C1,AA1A1B1.

又A1B1A1C1,AA1A1G1A1,AA1,A1C1平面ACC1A1，

A1B1平面ACC1A1.

又A1B1平面PA1B1，

平面PA1B1平面ACC1A1.

（2）以A为原点，以AA,CA,AB的方向分别为x轴，y轴，z轴的正半轴方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，则A12,0,0,B0,0,2,B12,0,2,C0,2,0.

则故BB12,0.0,BC0,2,2

设平面BB1C1C的一个法向量为n1x1,y1,z1.

BB1n12x10x10

则，即，

yz

BCn12y12z1011

取z11，则y11,n10,1,1.

设正四棱锥PABB1A1的高为h，则P1,h,1，则A1P1,h,1，

且A1P∥平面BB1C1C则A1Pn1

即A1Pn1h10，则h1,BP1,1,1

PBB

设平面1的一个法向量为n2x2,y2,z2，

BB1n22x20x20

则，即，取y21，则n0,1,1

yz2

BPn2x2y2z2022

设直线AP与平面PBB1所成角为，且AP1,1,1

116

则sincosAP,n2.

233

33

则cos，所以直线AP与平面PBB1所成角的余弦值为