2026高考数学高频考点对点练：不等式（教师版）

不等式

一、单选题

x

1．已知x1,y1，x2,y2是函数y2的图象上两个不同的点，则（）

yyxxyyxx

A．log1212B．log1212

222222

yyyy

C．log12xxD．log12xx

22122212

【答案】B

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

xx1x2

由题意不妨设x1x2，因为函数y2是增函数，所以022，即0y1y2，

xxxx

2x12x212yy12

对于选项AB：可得2x1·2x222，即12220，

22

x1x2

y1y22x1x2

根据函数ylog2x是增函数，所以loglog2，故B正确，A错误；

2222

对于选项D：例如x10,x21，则y11,y22，

yy3yy

可得log12log0,1，即log121xx，故D错误；

22222212

11

对于选项C：例如x1,x2，则y,y，

121224

yy3yy

可得log12loglog332,1，即log123xx，故C错误，

222822212

故选：B.

2．已知9m10,a10m11,b8m9，则（）

A．a0bB．ab0C．ba0D．b0a

【答案】A

【解析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知mlog9101，再利用基本不等式，换底公式可得mlg11，

log89m，然后由指数函数的单调性即可解出．

［方法一］：（指对数函数性质）

22

lg102lg10lg11

mlg9lg11lg99

由910可得mlog9101，而lg9lg111lg10，所以，即mlg11，

lg922lg9lg10

所以a10m1110lg11110.

22lg9lg10

lg8lg10lg802

又lg8lg10lg9，所以，即log89m，

22lg8lg9

所以b8m98log8990.综上，a0b.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

m

由910，可得mlog910(1,1.5)．

根据a,b的形式构造函数f(x)xmx1(x1)，则f(x)mxm11，

1

令f(x)0，解得1m，由mlog910(1,1.5)知x0(0,1).

x0m

f(x)在(1,)上单调递增，所以f(10)f(8)，即ab，

又因为f(9)9log910100，所以a0b.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用a,b的形式构造函数f(x)xmx1(x1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

3．已知函数fx的定义域为R，且fx1为奇函数，当x1时，fxexe，则关于a的不等式fa2a10的

解集为（）

A．1,2B．2,1

C．,12,D．,21,

【答案】C

【解析】由函数奇偶性与图象变换，可得函数的对称性，根据题意可得函数的单调性，化简不等式，结合一元二次不

等式的解法，可得答案.

依题意，因为fx1为奇函数，所以函数fx的图像关于1,0对称，

又当x1时，fxexe，易知函数fx在,1上单调递增，

所以当x1时，函数fx在1,上单调递增，

又f10，可知fx在R上单调递增，

所以fa2a10可化为fa2a1f1，

即a2a11，即a2a20，解得a1或a2，

所以不等式的解集为,12,.

故选：C．

1a

4．已知a0,b0，则b的最小值为（）

a4b2

A．42B．22C．4D．2

【答案】D

【解析】利用基本不等式即得.

因为a0,b0，

1a1a11

所以b2bb2b2，

a4b2a4b2bb

1a1

当且仅当，且b，即a2,b1时，取等号，

a4b2b

1a

所以b的最小值为2.

a4b2

故选：D.

1

5．已知函数fxlnxx，若fafb0，则a2b2的最小值为（）

x

A．1B．2C．2D．22

【答案】B

11

【解析】由题意可得ffb，结合函数的单调性可得a，进而可求a2b2的最小值.

bb

1

函数fxlnxx的定义域为0,，

x

1

可得函数fxlnxx在0,上单调递增，

x

111111

flnlnbblnbbfb

又bbb1bb，

b

1

由fafb0，得fafbf，

b

1

因为函数fx在0,上单调递增，所以a，所以ab1，

b

所以a2b22ab2，当且仅当ab1时取等号，

所以a2b2的最小值为2.

故选：B.

21

6．若不等式3x2a9xb0在xR上恒成立，且a0，b0，则的最小值为（）

ab

3579

A．B．C．D．

2222

【答案】D

【解析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得2ab2，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解.

3x2a903x2a90

由3x2a9xb0，得或，

xb0xb0

x22ax22a

由y3x为增函数，解得或，

xbxb

当22ab时，则有xb或x22a，

则存在bx22a，使得不等式3x2a9xb0，不符合；

当22ab时，则有x22a或xb，

则存在22axb，使得不等式3x2a9xb0，不符合；

当22ab时，则不等式解为R，即不等式3x2a9xb0在xR上恒成立，

因此22ab，即2ab2.

因为a0，b0，

2112112a2bab559

所以2ab52，

ab2ab2baba222

ba2

当且仅当，即ab时取等号.

ab3

故选：D.

1

7．已知a,bR，b为a和2的等差中项，则3a的最小值为（）

9b

112

A．B．2C．D．

323

【答案】D

111

【解析】根据条件得到a2b2，从而有3a9b，再利用基本不等式，即可求解.

9b99b

由题知2ba2，得到a2b2，

1111112

所以3a32b29b19b2，

9b9b9b99b93

111

当且仅当9b，即b,a1时，取等号.

99b2

故选：D.

14

8．在公差不为0的等差数列a中，若a是a与ay的等差中项，则的最小值为（）

n3xxy

3569

A．B．C．D．

2355

【答案】A

141y4x

【解析】由已知可得xy6，再根据5，利用基本不等式即可求解.

xy6xy

因为在公差不为0的等差数列an中，a3是ax与ay的等差中项，

所以2a3axay，所以xy6，

141141y4x1y4x3

所以xy552，

xy6xy6xy6xy2

y4x

当且仅当，即x2，y4时等号成立，

xy

143

所以的最小值为.

xy2

故选：A.

9．若不等式x(xa)ln(xa)0恒成立，则a的取值集合为（）

1

A．1B．0,1C．,1D．1,

e

【答案】A

【解析】利用换元法，把原不等式转化为talnt0恒成立问题，再分0t1，t1，t1讨论即可.

设xat，则xta，t0.

原不等式可化为：tatlnt0.

因为t0，所以talnt0，t0.

当0t1时，lnt0，所以ta0在t0,1恒成立，所以a1；

当t1时，lnt0，所以talnt0成立；

当t1时，lnt0，所以ta0在t1,上恒成立，所以a1.

综上可得：a1.

故选：A

10．已知非零实数ab，则下列命题中成立的是（）．

A．a2b2B．abb2C．a2b22abD．a3b3

【答案】D

【解析】利用赋值法即可判断A，B，C，根据函数的单调性即可判断D.

由已知当a2，b4，所以a2b2，故A错误；

因为ab，当b0时，所以abb2，故B错误；

当非零实数a，b一正一负时，ab无意义，故C错误；

因为yx3在R上单调递增，且ab，

所以a3b3，故D正确.

故选：D.

二、多选题

11．已知a,b为正实数，aba2b14，则下列说法正确的是（）

a6

A．ab21B．的最小值为-1

b1

111

C．a4b的最小值为12D．的最小值为

a2b12

【答案】ABD

1616

【解析】根据题意，化简得到(a2)(b1)16，令xa2,yb1，得到abx3，结合函数fxx单

xx

16a6a24a12

调性，可判定A正确；由b1，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简

a2b116

1111

a4bx4y6，利用基本不等式，可得判定C不正确；由(a2)(b1)16，得到2，可

a2b1a2b1

判定D正确.

由aba2b14，可得(a2)(b1)16，

对于A中，令xa2,yb1，则ax2,by1且xy16，

16

可得2x16，则abxy3x3，

x

16

因为函数fxx在(2,4]上单调递减，在[4,16)上单调递增，

x

可得fxf1617，所以abxy314，所以A正确；

16

对于B中，由(a2)(b1)16，可得b1，

a2

a6a2a24a12(a2)216

则(a6)，

b1161616

a6

当且仅当a2时，取得最小值1，所以B正确；

b1

对于C中，由a4b(x2)4(y1)x4y62x4y610，

当且仅当x4y时，即x8,y2时，即a6,b1时，等号成立，所以C不正确；

对于D中，由(a2)(b1)16，

111111

可得22，

a2b1a2b1162

11

当且仅当时，即a2,b3时，等号成立，

a2b1

111

所以的最小值为，所以D正确.

a2b12

故选：ABD.

12．已知ba1c0，则（）

aalnccc

A．cacbB．bcacC．D．ba

bblncba

【答案】ABD

【解析】由指数函数ycx单调性可判断A项，由幂函数yxc单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判

断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项.

对于A项，因为ycx(0c1)是减函数，而ba，所以cacb，故A项正确；

对于B项，因为yxc(0c1)在0,上单调递增，而ba0，所以bcac，故B项正确；

aalncbalncbalncaalnc

对于C项，，因为b0，lnc0，ba0，所以0，即，故C项错误；

bblncbblncbblncbblnc

ccbaabcbaabccc

对于D项，ba，因为ba0，abc0，ab0，所以0，即ba，

baababba

故D项正确.

故选：ABD.

13．若正实数a,b满足ab1，则（）

14

A．ab的最大值是2B．的最小值是9

ab

93

C．(1a)(1b)的最大值是D．a22b2的最小值是

44

【答案】ABC

【解析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求出最小值判

断D.

1

对于A，abab2abab(ab)2，当且仅当ab时取等号，A正确；

2

1414b4ab4a2

对于B，(ab)()5529，当且仅当b2a时取等号，B正确；

abababab3

1a1b91

对于C，(1a)(1b)()2，当且仅当ab时取等号，C正确；

242

122

对于D，a1b,0b1，则a22b2(1b)22b23b22b13(b)2，

333

1

当且仅当b时取等号，D错误.

3

故选：ABC

14．若lnalnb,cR，则下列说法正确的是（）

c2c2bbc

A．B．

abaac

C．a3b3D．alnablnb

【答案】AC

【解析】先由对数函数的单调性得ab0，利用作差法即可判断AB，构造函数fxx3即可判断C，构造函数

gxxlnx，利用导数研究单调性即可判断D.

因为ylnx在0,为增函数，由lnalnb有ab0，ba<0

c2c2c2bac2c2c2bac2c2

对于A：由，因为c20，所以0，故A正确；

ababababab

bbccbabbccbabbc

对于B：由，当c0,ac0时，0，即，故B错误；

aacaacaacaacaac

3

对于C：令fxx，可知fx在R上单调递增，由ab0有a3b3，故C正确；

11

对于D：令gxxlnx，则gx1lnx，由gx0有x，gx0有0x，

ee

11

所以gx在0,上单调递减，在,上单调递增，

ee

1

所以当ab时，gagbalnablnb，

e

1

当0ba时，gagbalnablnb，故D错误.

e

故选：AC.

三、填空题

15．命题p:“x1,3，x22xm0”是假命题，则m的取值范围是．

【答案】,1

【解析】根据题意，p为真命题，恒成立问题分离参数求解.

由题，p:x1,3,x22xm0为真命题，

所以mx22x，对x1,3，

又yx22x在x1,3上的最小值为1，

m1，

所以实数m的取值范围为,1.

故答案为：,1.

11

16．在ABC中，E为AC上一点，且AC4AE，P为BE上一点，且满足AP