2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第二节 等差数列

第七章数列第二节

等差数列课标解读考向预测1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.预计2026年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母___表示．数学语言表达式：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)．2同一个常数d(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝______．提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．a＋ba1＋(n－1)d(n－m)d1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．×√√×题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第二册4.2.1练习T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(

)A．－2 B．4C．6 D．8(2)(人教A选择性必修第二册习题4.2T1改编)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(

)A．6 B．7C．8 D．9(3)(人教A选择性必修第二册4.2.1练习T5改编)在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为(

)A．21 B．24C．27 D．30解析：令插入的3个数依次为a1，a2，a3，即3，a1，a2，a3，15成等差数列，因此2a2＝3＋15，解得a2＝9，所以插入的3个数之和为a1＋a2＋a3＝3a2＝27.(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S10＝S20＝100，则S40＝(

)A．－200 B．－100C．200 D．100(5)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为______．820考点探究—提素养等差数列基本量的运算(1)(2025·山东名校高三联考)在等差数列{an}中，已知a1＝－9，a3＋a5＝－9，a2n－1＝9，则n＝(

)A．7 B．8C．9 D．10(2)(2025·皖南八校开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝(

)A．6 B．10C．12 D．20解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故选B.(3)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝(

)A．13 B．14C．15 D．16等差数列基本量运算的思想方法方程思想等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程2．(2024·广东汕头高三考前测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，a2n＝2an＋1，若Sn＋an＋1＝100，则n＝(

)A．8 B．9C．10 D．11考向1等差数列项的性质(1)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，则m＝(

)A．9 B．8C．7 D．6等差数列的性质及其应用(多考向探究)解析：因为S9＝9a5，所以9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以a3＋a5＋am＝3a5，即a3＋am＝2a5，所以m＝7.故选C.(2)(2025·河北省级联考高三期末)已知公差大于0的等差数列{an}满足a4＋a2－a1＝3，a4a6＝－7，则数列{an}的前8项和为_____．8等差数列项的性质的关注点3.已知项数为n的等差数列{an}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项的和为360，则n＝(

)A．48 B．36C．30 D．264．(2025·湖北武汉高三调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10－S3＝35，a3＋a10＝7，则{an}的公差为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：由S10－S3＝35，得a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝35，故7a7＝35，则a7＝5，由a3＋a10＝7，得a6＋a7＝7，故a6＝2，故公差为a7－a6＝3.故选C.考向2等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝(

)A．35 B．42C．49 D．63(2)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(

)A．28 B．29C．30 D．31解析：设等差数列{an}共有2n＋1项，公差为d，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．考向3等差数列前n项和的最值问题在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法7.(2025·福建福州高三第一次质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝－600，当且仅当n＝30时，Sn取得最小值，则{an}的公差的取值范围为________．(24，25)8．(2024·陕西洛南中学高三模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝35，a2＋a3＋a4＝39，则当Sn取得最大值时，n的值为____．7等差数列的判定与证明的常用方法判定方法定义法对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1通项公式法对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)前n项和公式法对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)证明方法定义法对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－19.(2025·江苏宿迁高三三模)已知数列{bn}满足4b1＋b2＋…＋bn－n＝2n·bn，求证：数列{bn}是等差数列．证明：因为4b1＋b2＋…＋bn－n＝2nbn，所以2(b1＋b2＋…＋bn)－2n＝nbn，所以2(b1＋b2＋…＋bn＋1)－2(n＋1)＝(n＋1)bn＋1，则(n－1)bn＋1＝nbn－2，所以nbn＋2＝(n＋1)bn＋1－2，则nbn＋2＋nbn＝2nbn＋1，所以bn＋2＋bn＝2bn＋1，所以数列{bn}是等差数列．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考向等差数列基本量的运算等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算等差数列的判定与证明；等差数列基本量的运算等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用考点求某一项等差数列项的性质等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质等差数列项的性质求参数的值求某一项等差数列项的性质；等差数列前n项和的最值问题等差数列项的性质题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★考向等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算等差数列的性质及其应用等差数列的判定与证明等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算等差数列的判定与证明；等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算；等差数列的性质及其应用考点数学文化与等差数列的综合求前n项和求代数式的值等差数列前n项和的性质求通项公式；求含绝对值的等差数列的前n项和求参数的值求通项公式求通项公式、公差；等差数列项的性质一、单项选择题1．等差数列{an}(n∈N*)中，a2＝10，a7－a4＝2a1，则a7＝(

)A．40 B．30C．20 D．10解析：设等差数列{an}(n∈N*)的公差为d，则a7－a4＝3d＝2a1，a2＝a1＋d＝10，解得a1＝6，d＝4，a7＝a1＋6d＝6＋24＝30.故选B.3．已知首项为2的等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，则an＝(

)A．3n－2 B．3n－1C．3n＋1 D．3n＋2解析：由题意，n∈N*，在等差数列{an}中，首项a1＝2，设公差为d，前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45，∴－a1＋a2－…－a29＋a30＝15d＝45，解得d＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)，即an＝3n－1(n∈N*)．故选B.6．(2025·山东潍坊高三调研监测)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，若ak＋ak＋1＋…＋ak＋9＝270，则k＝(

)A．7 B．8C．9 D．10二、多项选择题9．(2025·辽宁名校高三模拟)设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(

)A．d≤0B．a7＝0C．S6与S7均为Sn的最大值D．满足Sn<0的n的最小值为1410．(2025·山东临沂高三模拟)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是(

)A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5B．若a2＋a13＝4，则S14＝28C．若S15<0，则S7>S8D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>011．(2025·江苏南通统考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则(

)A．驽马第七日行九十四里B．第七日良马先至齐C．第八日二马相逢D．二马相逢时良马行一千三百九十五里三、填空题12．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝_____．9513．(2025·湖北武汉高三期末)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＋S9＝10，则20a4＋a10＝_____．解析：设等差数列{an}的公差为d，则S5＋S9＝14a1＋46d＝10，即7a1＋23d＝5，所以20a4＋a10＝20(a1＋3d)＋a1＋9d＝21a1＋69d＝3(7a1＋23d)＝15.1514．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝____．10四、解答题15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)数列{an}是否可能为等差数