2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第6讲 二项分布、超几何分布、正态分布

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列第6讲

二项分布、超几何分布、正态分布1.1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量及其特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．n重伯努利试验及其特征(1)n重伯努利试验的概念我们把只包含______________的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验______地______进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)n重伯努利试验的共同特征①同一个伯努利试验______做n次；②各次试验的结果___________．两个可能结果独立重复重复相互独立2．二项分布(1)一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝___________，k＝0，1，2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作_____________．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝____________．X～B(n，p)npnp(1－p)X～N(μ，σ2)上方1x＝μx＝μx⑥当_______一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着_______的变化而沿x轴平移，如图①.⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.σμ(4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．0.68270.95450.99731．二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布2.若X～N(μ，σ2)，则X是连续型随机变量．3．二项分布与正态分布随机变量X～B(n，p)，当n→＋∞时，二项分布近似地服从正态分布，即正态分布是二项分布的极限形式．3．(人教A选择性必修第三册7.5例题改编)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(

)A．有26min可用

B．有30min可用C．有34min可用

D．有38min可用解析：由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．根据X和Y的概率分布密度曲线图可知，P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)．所以如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车．故选D.4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝____________．解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.核心考向突破考向一

n重伯努利试验与二项分布

(2025·河北衡水中学模拟)已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)个红球和2个白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出1个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出1个球．(1)当m＝4，n＝2时，①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望；(2)当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？1．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验；(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆；(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．2．求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．考向二

超几何分布

超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2024·辽宁大连期末)某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量N，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，X表示捕获的有标识的成年鸡的数目．(1)若N＝10000，求X的数学期望；(2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求N的估计值(以使得P(X＝20)最大的N的值作为N的估计值)．考向三

正态分布(3)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.9545)

正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的区域的面积为1的性质．(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．2．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；解：(1)抽取的一个零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0027，故X～B(16，0.0027)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423.X的数学期望E(X)＝16×0.0027＝0.0432.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率只有0.0027，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件的概率只有0.0423，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．课时作业4．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9，10)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.5．口袋中有6个球(除颜色外其他属性都相同)，其中3个黑球，2个红球，1个白球，ξ表示有放回地摸球3次，每次摸一个，取出红球的个数，η表示不放回地摸球3次，每次摸一个，取出黑球的个数，则下列结论成立的是(

)A．E(ξ)<E(η) B．E(ξ)>E(η)C．E(ξ)＝E(η) D．无法判断6．(2024·辽宁辽阳一模)辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称．已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(24.9<M<25.1)＝0.8，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25～25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为(

)A．14.4 B．9.6C．24 D．487.如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行且错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球在下落过程中向左、向右落下的机会均等，设小球最终落入X号球槽，则X的数学期望为(

)A．3 B．4C．3.5 D．2.5三、填空题12．(2025·福建龙岩上杭一中月考)中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ～B(n，p)，则当np>5且n(1－p)>5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为________(精确到0.0001)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.0.9773314．已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．2416．(2025·河北唐山开学考试)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80)内的学生获三等奖，得分在[80，90)内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以