2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第八节 函数与方程

第三章函数与基本初等函数第八节

函数与方程课标解读考向预测1.理解函数的零点与方程解的关系，能进行函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.会用二分法求方程的近似解.从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2026年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．4．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)零点的近似值．f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．(3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号．(4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.题组一走出误区——判一判(1)函数的零点是一个点．(

)(2)任何函数都有零点．(

)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)<0.(

)(4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)>0，则函数无零点．(

)××××(2)(人教A必修第一册习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(

)解析：根据题意，利用二分法求函数零点的条件是函数在零点的左、右两侧的函数值符号相反，即图象穿过x轴，据此分析，知A中的函数不能用二分法求零点．故选A.(3)(人教A必修第一册习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(

)A.2 B．3C．4 D．5解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．故选B.x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.64(4)(人教A必修第一册习题4.5T13改编)若函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则实数k的取值范围是___________．考点探究—提素养函数零点所在区间的判断(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为______________________________________________(精确度为0.01)． 1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060解析：注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.

确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．2．已知2<a<3<b<4，函数y＝logax与y＝－x＋b图象的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝____．解析：依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.2函数零点个数的判断解析：当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x－1)＝0，可得x＝2.综上所述，函数y＝f(x)的零点个数为2.2(2)(2025·浙江台州适应性考试)已知函数h(x)＝sinx＋xcosx，则函数h(x)在区间(0，3π)内零点的个数为_____．3

求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点．(2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断．(3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．22函数零点的应用(多考向探究)考向1利用零点比较大小已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(

)A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a

(1)直接利用方程研究零点．(2)利用图象交点研究零点．(3)利用零点存在定理研究零点．解析：依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)的图象可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．故选A.

根据零点个数求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．6.已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的值为(

)A．1 B．－1C．0 D．－2解析：因为函数f(x)＝2|x|＋x2＋a的定义域为R，且f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2＋a，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则当x＝0时，f(x)min＝a＋1，由函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，得a＋1＝0，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故选B.根据零点范围求参数的方法(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解．(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考向函数的零点函数的零点函数的零点方程的解函数零点的应用方程的解函数零点的应用函数零点的应用函数的零点考点函数零点所在区间的判断求函数的零点函数零点个数的判断根据方程的解求参数的取值范围利用零点比较大小根据方程解的个数求参数的取值范围根据零点的个数求参数的取值范围根据零点求代数式的取值范围二分法求函数零点的步骤题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向函数的零点函数的零点函数零点的应用函数零点的应用方程的解方程的解方程的解函数零点的应用函数的零点考点二次函数的零点问题函数零点个数的判断根据零点的范围求参数的取值范围根据零点的个数求参数的取值范围方程解的和判断方程解的个数方程解的分布问题根据零点求代数式的取值范围函数零点个数的判断一、单项选择题1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(

)A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)3．函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数是(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：令f(x)＝ex|lnx|－1＝0，得|lnx|＝e－x，则函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数等价于函数y＝e－x与y＝|lnx|图象的交点个数，y＝e－x与y＝|lnx|的图象如图所示，由图可知，两个函数的图象有2个交点，故函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数是2.故选B.5．已知三个函数f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x