2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第6讲 对数与对数函数

第三章函数第6讲对数与对数函数1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合x＝logaNlogaM＋logaNlogaM－logaNy＝logaxa>10<a<1图象定义域_________值域R定点过定点________单调性____________________函数值的变化当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0(0，＋∞)4．对数函数的图象与性质(1，0)增函数减函数5.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝_______(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______对称．logaxy＝x3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象过定点___________．解析：由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象过定点(－1，－2)．(－1，－2)4．(人教B必修第二册4.2.2练习BT3改编)求值：lg5×lg20＋(lg2)2＝________．解析：原式＝lg5×lg(22×5)＋(lg2)2＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝[lg(5×2)]2＝1.1核心考向突破考向一

对数的化简与求值对数运算的策略2．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝________．解析：由f(ln2)f(ln4)＝8，可得aln2·aln4＝8，即aln2＋ln4＝a3ln2＝8，也即(aln2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln2＝2，两边取对数得ln2·lna＝ln2，解得a＝e.e64考向二

对数函数的图象及其应用(1)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(

)利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型图象的函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则(

)A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3考向三

对数函数的性质及其应用角度1比较对数值的大小(1)(2025·安徽合肥模拟)已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则(

)A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是(

)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b解析：由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立．比较对数值大小的方法角度2解对数不等式(1)(2025·福建泉州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lgx)<0，则x的取值范围是(

)A．(0，1) B．(1，10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)解析：根据奇函数的性质可知f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，因此不等式f(lgx)<0可化为f(lgx)<f(0)，即lgx<0，解得0<x<1.所以x的取值范围是(0，1)．故选A.对数不等式的类型及其解法1.(2025·贵阳模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|logax>1，a>0，且a≠1}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．解析：由已知可得A＝{x|－1≤x≤3}，若a>1，则B＝{x|x>a}，由A∩B＝∅，得a≥3；若0<a<1，则B＝{x|0<x<a}，此时A∩B＝B≠∅，不符合题意．综上可得，a的取值范围是[3，＋∞)．[3，＋∞)2．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________．角度3对数函数性质的综合应用(1)(2025·深圳红岭教育集团统考)已知函数f(x)＝loga[x(a－x)](a>0，且a≠1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(

)A．(1，2] B．(1，4]C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)(2)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________．39解对数函数综合问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．2．已知函数f(x)＝|lnx－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．1课时作业5．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即若是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lgN＝n＋lga(0≤lga<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(

)A.3

B．12

C．13

D．14N23451112131415lgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.187．已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(

)A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<b<a二、多项选择题9.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(

)A．a＞1 B．0＜c＜1C．0＜a＜1 D．c＞1解析：由图象可知0＜a＜1，令y＝0，得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，故0＜c＜1.故选BC.11．已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(

)A．函数f(x)是偶函数

B．函数f(x)是奇函数C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数

D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)ln213．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f