2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第5讲 指数与指数函数

第三章函数第5讲指数与指数函数基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合xn＝a正数负数两个相反数ar＋sarsarbr4．指数函数的概念函数__________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数叫做指数型函数．y＝ax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象性质定义域R值域_____________定点过定点_________，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性__________________对称性y＝ax与y＝

的图象关于y轴对称(0，＋∞)5．指数函数的图象和性质(0，1)增函数减函数3．(人教A必修第一册习题4.2T6改编)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(

)A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c解析：因为指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，故b>a.因为幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01>0.6，所以1.010.5>0.60.5，故a>c.所以b>a>c.故选D.4．函数f(x)＝ax－2026＋2026(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为_____________．解析：令x－2026＝0，得x＝2026，又f(2026)＝2027，故点A的坐标为(2026，2027)．(2026，2027)核心考向突破考向一

指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．a4考向二

指数函数的图象及其应用(1)(多选)已知实数a，b满足等式2025a＝2026b，则下列关系式有可能成立的是(

)A．0<b<a B．a<b<0C．0<a<b D．a＝b解析：在同一坐标系下画出y＝2025x与y＝2026x的大致图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD.(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．处理指数图象问题的策略(1)抓住特殊点指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．(2)巧用图象变换常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在

[0，＋∞)上的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．1.(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x-b)(a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()解析：由图象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b＜0，所以A符合．故选A.解析：如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.考向三

指数函数的性质及其应用(2)(2025·辽宁沈阳模拟)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，则p是q的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要条件．故选A.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小，或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．1．解指数方程的依据af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)．2．解指数不等式的思路方法对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．x＝log23[－2，＋∞)0指数函数综合问题的处理策略(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．1.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)2．已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为___________．解析：令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]．[－5，31]课时作业11．(2024·湖北武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(

)A．0<a<b<1 B．b<a<0C．1<a<b D．a＝b解析：设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD.(－∞，－1]13．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为__________，f(－4)与f(1)的大小关系是____________．解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋