2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第5讲 离散型随机变量的分布列及数字特征

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列第5讲离散型随机变量的分布列及数字特征了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征(均值、方差)．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．随机变量的概念及特征(1)概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有_____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：①取值依赖于________；②所有可能取值是________．(3)离散型随机变量可能取值为______或可以_________的随机变量，我们称之为离散型随机变量．唯一样本点明确的有限个一一列举2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X的每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)表示：离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，如下表所示：(3)离散型随机变量的分布列的性质①____________________________；②________________________．Xx1x2…xnPp1p2…pnpi≥0(i＝1，2，…，n)p1＋p2＋…＋pn＝13．离散型随机变量的均值(1)离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpnXx1x2…xnPp1p2…pn(2)离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的___________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的__________．(3)离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有__________________．加权平均数平均水平E(aX＋b)＝aE(X)＋b4．离散型随机变量的方差、标准差(1)设离散型随机变量X的分布列如表所示．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pnXx1x2…xnPp1p2…pna2D(X)0pp(1－p)1．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．2．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 1．(人教B选择性必修第二册习题4－2BT4改编)某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是(

)A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标解析：因为击中目标或子弹打完就停止射击，所以射击次数X＝5说明前4次均未击中目标．故选C.4．(多选)(人教B选择性必修第二册4.2.4练习AT5改编)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是(

)A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2X01234Pq0.40.10.20.2解析：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故B错误，C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.5．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________．核心考向突破考向一

离散型随机变量分布列的性质(2024·广东东莞模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两枚骰子中出现的点数分别为X1，X2，记X＝max{X1，X2}．(1)求X的概率分布列；(2)求P(2＜X＜5)．解：(1)根据题意，抛掷两枚骰子出现的点数有36种等可能的情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)；因此X的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表：X的值出现的点样本点个数1(1，1)12(1，2)，(2，2)，(2，1)33(1，3)，(2，3)，(3，3)，(3，2)，(3，1)54(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)75(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)96(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)11

离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．考向二

求离散型随机变量的分布列

(2024·湖北新高考协作体高三模拟)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地取球，每次取1个，当两种颜色的球都被取到时，即停止取球，记随机变量X为此时已取球的次数，求：(1)P(X＝2)的值；(2)随机变量X的分布列．

离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些及每一个取值所表示的意义；(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．

甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜；四轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局，甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)求甲、乙两人最终平局的概率；(3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列．解：(1)依题意，X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－0.5)×0.6＝0.3，P(X＝0)＝0.5×0.6＋(1－0.5)(1－0.6)＝0.5，P(X＝1)＝0.5×(1－0.6)＝0.2，所以X的分布列为X－101P0.30.50.2(2)因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙两人一定进行了四轮比赛，分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为0.54＝0.0625；②四轮比赛中，有两轮甲、乙均得0分，另两轮甲、乙各得1分，其概率为2C×0.2×0.3×0.5×0.5＝0.18；③四轮比赛中，甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，其概率为2×0.2×0.3×2×0.2×0.3＝0.0144.故甲、乙两人最终平局的概率为0.0625＋0.18＋0.0144＝0.2569.(3)Y的所有可能取值为2，3，4，P(Y＝2)＝0.3×0.3＋0.2×0.2＝0.13，P(Y＝3)＝2×0.3×0.5×0.3＋2×0.2×0.5×0.2＝0.13，P(Y＝4)＝1－P(Y＝2)－P(Y＝3)＝0.74，所以Y的分布列为Y234P0.130.130.74考向三

离散型随机变量的数字特征角度1数字特征的计算

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．(2)依题意可知，X的可能取值为0，10，20，30，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.即X的分布列为期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.X0102030P0.160.440.340.06角度2数字特征的应用(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；(2)假设0<p<q，①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)×(1－0.53)＝0.686.(2)①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，∵0<p<q，∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．

离散型随机变量的期望与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求参数值．可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据期望、方差的意义，对实际问题作出判断．2．已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列如下：(1)在A，B两个项目上各投资200万元，Y1和Y2(单位：万元)表示投资项目A和B所获得的利润，求D(Y1)和D(Y2)；(2)将x(0＜x＜200)万元投资A项目，(200－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和．则当x为何值时，f(x)取得最小值？X15%10%P0.60.4X22%8%12%P0.10.50.4解：(1)依题意，得E(Y1)＝10×0.6＋20×0.4＝14，E(Y2)＝4×0.1＋16×0.5＋24×0.4＝18，D(Y1)＝(10－14)2×0.6＋(20－14)2×0.4＝24，D(Y2)＝(4－18)2×0.1＋(16－18)2×0.5＋(24－18)2×0.4＝36.Y11020P0.60.4Y241624P0.10.50.4课时作业4．某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，该零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的该零件个数X的分布列为若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为(

)A．1716.8元 B．206.5元C．168.6元 D．156.8元X678P0.40.50.1解析：记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的所有可能取值为12，13，14，15，16，P(Y＝12)＝0.42＝0.16，P(Y＝13)＝2×0.4×0.5＝0.4，P(Y＝14)＝0.52＋2×0.4×0.1＝0.33，P(Y＝15)＝2×0.5×0.1＝0.1，P(Y＝16)＝0.12＝0.01.若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，则Z的所有可能取值为0，280，560，840，P(Z＝0)＝P(Y≤13)＝0.16＋0.4＝0.56，P(Z＝280)＝P(Y＝14)＝0.33，P(Z＝560)＝P(Y＝15)＝0.1，P(Z＝840)＝P(Y＝16)＝0.01，E(Z)＝0×0.56＋280×0.33＋560×0.1＋840×0.01＝156.8.故选D.7．(2024·辽宁八市八校二模)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)，已知X，Y的分布列如下表所示，其中0<p<1，则Cov(X，Y)的值为(

)A．0 B．1C．2 D．4X12Pp1－pY12P1－pp解析：由题意，得XY的分布列为E(XY)＝1×p(1－p)＋2×[p2＋(1－p)2]＋4×p(1－p)＝－p2＋p＋2，E(X)＝2－p，E(Y)＝p＋1，Cov(X，Y)＝－p2＋p＋2－(2－p)(1＋p)＝0.故选A.XY124Pp(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)8．(2025·重庆外国语学校模拟)为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到1个红球1个白球，可获得a个百元代金券；摸到2个白球，可获得b个百元代金券；摸到2个红球，可获得ab个百元代金券(a，b均为整数)．已知每位员工平均可获得5.4个百元代金券，则运气最好者最多获得(

)A．5.4个百元代金券 B．9个百元代金券C．12个百元代金券 D．18个百元代金券10．(2024·辽宁沈阳一模)下图是离散型随机变量X的概率分布图，其中3a＝5b，2b＝3c，则(

)A．a＝0.5 B．E(X)＝2.3C．D(X)＝0.61 D．D(2X)＝1.22三、填空题12．设随机变量ξ的分布列如下：其中a1，a2，…，a6构成等差数列，则a1＋a6＝________．ξ123456Pa1a2a3a4a5a614