2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

第九章直线与圆、圆锥曲线第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合方法过程依据结论代数法联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4acΔ>0_________Δ＝0_________Δ<0_________几何法计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系d_______r相交d_______r相切d_______r相离相交1．直线与圆的位置关系与判断方法相切相离＜＝＞位置关系图示d与r1，r2的关系外离____________外切____________相交___________________内切d＝____________(r1≠r2)内含0≤d＜____________(r1≠r2)2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2|r1－r2||r1－r2|相交内切或外切内含或外离1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(3)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．若圆C：x2＋2x＋y2－3＝0，则直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是(

)A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切解析：直线l：mx＋y＝0经过定点(0，0)，由于02＋2×0＋02－3＝－3<0，则定点在圆内．故直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是相交．故选A.4．(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T1改编)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是(

)A．外离 B．相交C．内切 D．外切5．(人教A选择性必修第一册习题2.5T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为____________．x－y＋2＝0解析：将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.核心考向突破考向一

直线与圆的位置关系(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．1．判断直线与圆的位置关系的常见方法2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程(组)或不等式(组)求解．几何法利用d与r的关系判断代数法联立方程之后利用Δ判断点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交1.(2025·河南三门峡模拟)已知圆C1：x2＋y2－2ax＋4by＋4＝0，则直线ax－2by＋2＝0与圆C2：x2＋y2＝1的位置关系是________．相交2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________________．考向二

直线与圆的综合问题角度1圆的切线问题

圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k.注意：检验切线斜率不存在的情况．2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．角度2圆的弦长问题(1)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(

)A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0

求直线被圆截得的弦长的常用方法(多选)(2025·安徽合肥模拟)已知直线l：mx－y－m＋3＝0(m∈R)及圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝3，则(

)A．直线l过定点B．直线l截圆C所得弦长的最小值为2C．存在m，使得直线l与圆C相切D．存在m，使得圆C关于直线l对称考向三

两圆的位置关系1.已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为__________________________．(x＋3)2＋(y＋3)2＝182．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：_____________________________________________________．x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(填一个即可)课时作业一、单项选择题1．(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为(

)A．0 B．1C．2 D．1或2解析：由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点(0，2)，又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上，因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选C.8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(

)A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0三、填空题12．(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是____________．y＝－x＋113．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2