2021江苏常州数学试卷+答案+解析

33常州市二〇二一年初中学业水平考试(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,满分16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)12345678ABDACDBA1.(2021江苏常州,1,2分)12的倒数是 (A.2 B.-2 C.12 D.-1.Aa·b=1,则a与b互为倒数,∵12×2=1,∴12的倒数是2.(2021江苏常州,2,2分)计算(m2)3的结果是 ()A.m5 B.m6 C.m8 D.m92.B幂的乘方,底数不变,指数相乘.(m2)3=m2×3=m6.3.(2021江苏常州,3,2分)下图是某几何体的三视图,该几何体是 ()A.正方体 B.圆锥 C.圆柱 D.球3.D正方体三视图一般为三个正方形,不会有圆的情况,A错误;圆锥三视图主视图与左视图一般为三角形,不会有三个圆的情况,B错误;圆柱三视图主视图与左视图一般为矩形,不会三视图都是圆形,C错误;球无论从哪个方向看都是圆,D正确.4.(2021江苏常州,4,2分)观察所示脸谱图案,下列说法正确的是 ()A.它是轴对称图形,不是中心对称图形B.它是中心对称图形,不是轴对称图形C.它既是轴对称图形,也是中心对称图形D.它既不是轴对称图形,也不是中心对称图形4.A此图案通过折叠可以使折痕两侧完全重合,所以是轴对称图形;此图案不可以通过旋转180°与原图案重合,所以不是中心对称图形.5.(2021江苏常州,5,2分)如图,BC是☉O的直径,AB是☉O的弦.若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是 ()A.20° B.25° C.30° D.35°5.C∵∠AOC=60°,∴∠ABC=12∠AOC=30°∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°.6.(2021江苏常州,6,2分)以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形﹐任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时,指针落在阴影区域的概率是13,则对应的转盘是 (ABCD6.DA.落在阴影部分的概率为12,所以A错误B.落在阴影部分的概率为14,所以B错误C.落在阴影部分的概率为25,所以C错误D.落在阴影部分的概率为26=13,所以D7.(2021江苏常州,7,2分)已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x增大而增大,则实数a的取值范围是 ()A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<17.B∵y=(a-1)x2图象的对称轴为直线x=0,y随x的增大而增大,∴a-1>0,∴a>1.8.(2021江苏常州,8,2分)为规范市场秩序、保障民生工程,监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格y1(元/件)随时间t(天)的变化如图所示,设y2(元/件)表示从第1天到第t天该商品的平均价格,则y2随t变化的图象大致是 ()ABCD8.A∵此商品最高单价为15元/件,∴平均价格不可能超过15元/件,∴B错误.∵此商品价格最后降低了,∴平均价格也要下降,∴C错误.∵此商品价格最后下降速度与前期上升速度相近,但后期总量多于前期总量,∴平均价格下降速度慢于前期.∴D错误.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.)9.(2021江苏常州,9,2分)化简:327=9.答案3解析327=3310.(2021江苏常州,10,2分)计算:2a2-(a2+2)=.

10.答案a2-2解析2a2-(a2+2)=2a2-a2-2=a2-2.11.(2021江苏常州,11,2分)分解因式:x2-4y2=.

11.答案(x+2y)(x-2y)解析x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y).12.(2021江苏常州,12,2分)近年来,5G在全球发展迅猛,中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者.截至2021年3月底,中国已建成约819000座5G基站,占全球70%以上.数据819000用科学记数法表示为.

12.答案8.19×105解析819000=8.19×100000=8.19×105.13.(2021江苏常州,13,2分)数轴上的点A、B分别表示-3,2,则点离原点的距离较近(填“A”或“B”).

13.答案B解析表示-3的点到原点的距离为|-3|=3,表示2的点到原点的距离为|2|=2,∵3>2,∴点B离原点的距离较近.14.(2021江苏常州,14,2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,其中点A在x轴正半轴上.若BC=3,则点A的坐标是.

14.答案(3,0)解析在▱OABC中,OA=BC,∵BC=3,∴OA=3,又∵点A在x轴正半轴上,∴A(3,0).15.(2021江苏常州,15,2分)如图,在△ABC中,点D、E分别在BC、AC上.∠B=40°,∠C=60°.若DE∥AB,则∠AED=°.

15.答案100解析∵DE∥AB,∠B=40°,∴∠CDE=∠B=40°,∴∠AED=∠CDE+∠C=40°+60°=100°.16.(2021江苏常州,16,2分)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示,在△ABC中,分别取AB、AC的中点D、E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为点F,将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3,AF=2,则△ABC的面积是.

16.答案12解析∵D为AB中点,E为AC中点,∴DE=12BC∵DE=3,∴BC=6.由题图可得△ADF≌△BDG,∴AF=BG,∵AF=2,∴BG=2,∴S△ABC=S矩形BCHG=BC·BG=6×2=12.17.(2021江苏常州,17,2分)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,点D、E分别在CA、CB上,点F在△ABC内.若四边形CDFE是边长为1的正方形,则sin∠FBA=.

17.答案10解析在边长为1的正方形CDFE中,∠FDC=∠FEC=90°,∠C=90°,∴∠FDA=∠FEB=90°.∵CE=1,BC=4,∴BE=BC-CE=4-1=3.∵CD=1,AC=3,∴AD=AC-CD=3-1=2.连接AF,BF,过点F作FG⊥AB交AB于点G.在Rt△ADF中,∠ADF=90°,DF=1,AD=2,∴AF2=AD2+DF2=5.在Rt△BEF中,∠FEB=90°,EF=1,BE=3,∴BF2=BE2+EF2=10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2设AG=x,则BG=AB-AG=5-x.在Rt△AFG中,FG2=AF2-AG2=5-x2.在Rt△BFG中,FG2=BF2-BG2=10-(5-x)2=10x-x2-15.∵FG2=FG2,∴5-x2=10x-x2-15,∴x=2,∴FG2=1,∴FG=1,∴sin∠FBA=FGBF=110=18.(2021江苏常州,18,2分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=30°,AC=1,D是AB上一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点,则AD长的取值范围是.

18.答案43<AD解析以AD为直径画圆,与直角边交点为E.当圆只与AC有交点时,有两个符合条件的三角形,如图1,Rt△ADE1,Rt△ADE2;图1当圆与BC相切时,有三个符合条件的三角形,如图2,Rt△ADE1,Rt△ADE2,Rt△ADE3;图2当圆与AC,BC都相交时,有四个符合条件的三角形,如图3,Rt△ADE1,Rt△ADE2,Rt△ADE3,Rt△ADE4.图3如图2,设AD中点为O,连接OE2,OE1,E1E2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=30°,AC=1,∴∠BAC=90°-∠CBA=60°,AB=2AC=2,又∵OE1=OA,∴△OAE1为等边三角形,∴∠OE1A=60°,OE1=E1A,∵☉O与BC相切于点E2,∴OE2⊥BC,又∵AC⊥BC,∴OE2∥AC,∴∠OE2E1=∠E2E1C,∠E2OE1=∠OE1A=60°.又∵OE2=OE1,∴△OE1E2为等边三角形,∴∠OE2E1=60°,OE1=E1E2,∴∠E2E1C=60°.在Rt△E1E2C中,∠C=90°,∠E2E1C=60°,∴∠CE2E1=30°,∴E1C=12E1E2设E1C=x,则E1A=AC-E1C=1-x,E1E2=2x.又∵E1E2=OE1,OE1=E1A,∴E1A=2x,∴1-x=2x,∴x=13∴OA=2x=23,∴AD=2OA=4x=4∴43<AD<AB,∴43<AD三、解答题(本大题共10小题,共84分.如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(2021江苏常州,19,6分)计算:4-(-1)2-(π-1)0+2-1.19.解析原式=2-1-1+12=120.(2021江苏常州,20,8分)解方程组和不等式组:(1)x+y=0,220.解析(1)x由②得y=2x-3,③把③代入①得x+(2x-3)=0,解得x=1.把x=1代入①得1+y=0,解得y=-1,∴原方程组的解是x(2)3由①得x>-2,由②得x<1.∴原不等式组的解集是-2<x<1.21.(2021江苏常州,21,8分)为降低处理成本,减少土地资源消耗,我国正在积极推进垃圾分类政策,引导居民根据“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理.调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.(1)本次调查的样本容量是;

(2)补全条形统计图;(3)已知该小区有居民2000人,请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数.21.解析(1)100.“较多了”有解55人,占样本容量的55%,∴样本容量为5555%(2)如图.完全了解:100×30%=30(人).较少了解:100-30-55-5=10(人).(3)“完全了解”人数占居民总数的30%,∴2000×30%=600(人),∴“完全了解”居民人数为600.22.(2021江苏常州,22,8分)在3张相同的小纸条上,分别写上条件:①四边形ABCD是菱形;②四边形ABCD有一个内角是直角;③四边形ABCD的对角线相等.将这3张小纸条做成3支签,放在一个不透明的盒子中.(1)搅匀后从中任意抽出1支签,抽到条件①的概率是;

(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回),再从余下的2支签中任意抽出1支签.四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件,求四边形ABCD一定是正方形的概率.22.解析(1)13∵每支签抽中的概率相同,共有3种可能,∴抽到①的概率为13(2)将抽取结果画成如下树状图:共有6种等可能的情况,其中①②组合与①③组合可证明四边形一定是正方形,共有4种情况,∴四边形一定是正方形的概率为46=223.(2021江苏常州,23,8分)如图,B、F、C、E是直线l上的四点,AB∥DE,AB=DE,BF=CE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)将△ABC沿直线l翻折得到△A'BC.①用直尺和圆规在图中作出△A'BC(保留作图痕迹,不要求写作法);②连接A'D,则直线A'D与l的位置关系是.

23.解析(1)证明:∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,∴BC=EF,∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,又∵AB=DE,∴△ABC≌DEF(SAS).(2)①如图,△A'BC即为所求.以B为圆心,AB长为半径画弧,以C为圆心,AC长为半径画弧,两弧交于A,A'两点,连接A'B,A'C,△A'BC即为所求.②如上图,A'D∥l.证明:连接AA'交l于点P,作DQ⊥l交l于点Q.∵△ABC与△A'BC关于l对称,∴AA'⊥l,AP=A'P,∴∠APC=∠A'PC=90°.∵DQ⊥l,∴∠DQF=90°,∴∠APC=∠DQF.由(1)得△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠DFE,AC=DF,∴△ACP≌△DFQ(AAS),∴AP=DQ,∴DQ=A'P,∵AA'⊥l,DQ⊥l,∴A'P∥DQ,∴A'PDQ,∴四边形A'PQD为平行四边形,∴A'D∥PQ,即A'D∥l.24.(2021江苏常州,24,8分)为落实节约用水的政策,某旅游景点进行设施改造,将手拧水龙头全部更换成感应水龙头.已知该景点在设施改造后,平均每天用水量是原来的一半,20吨水可以比原来多用5天.该景点在设施改造后平均每天用水多少吨?24.解析设改造后平均每天用水x吨,则改造前平均每天用水2x吨.由题意20x-202x=5,解得经检验x=2是原方程的解且符合题意,∴改造后平均每天用水2吨.25.(2021江苏常州,25,8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=12x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C,连接OC.已知点A(-4,0),AB(1)求b、k的值;(2)求△AOC的面积.25.解析(1)∵A(-4,0)在y=12x+b的图象上∴12×(-4)+b=0,∴b=2∴一次函数为y=12x+2∵点B为y=12x+2的图象与y轴的交点,∴B(0,2∴OA=4,OB=2,∵AB=2BC,且点C在y=12x+2的第一象限图象上,∴C(2,3∵C(2,3)在y=kx(x>0)的图象上∴3=k2,∴k=6(2)∵A(-4,0),O(0,0),C(2,3),∴S△AOC=12×4×3=6即△AOC的面积为6.26.(2021江苏常州,26,10分)【阅读】通过构造恰当的图形,可以对线段长度、图形面积大小等进行比较,直观地得到一些不等关系或最值,这是“数形结合”思想的典型应用.【理解】(1)如图1,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别为C、D,E是AB的中点,连接CE.已知AD=a,BD=b(0<a<b).①分别求线段CE、CD的长(用含a、b的代数式表示);②比较大小:CECD(填“<”“=”或“>”),并用含a、b的代数式表示该大小关系.

【应用】(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点M、N在反比例函数y=1x(x>0)的图象上,横坐标分别为m、n.设p=m+n,q=1m+1n,记l①当m=1,n=2时,l=;当m=3,n=3时,l=;

②通过归纳猜想,可得l的最小值是.请利用图2构造恰当的图形,并说明你的猜想成立.

图1图226.解析(1)①在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AB中点,∴CE=12AB,AE=BE=12又∵AB=AD+BD=a+b,∴CE=a+∴DE=BD-BE=BD-12AB=b-12(a+b)=在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∴CD=CE2-DE②>;a+b2∵b>a>0,(a-b)2>0,∴a+b-2ab>0,∴a+b>2ab,∴a+b2(2)①98;1当m=1,n=2时,l=14=14(m+n)=1=14×=98当m=3,n=3时,l=14=14×(m+n)=1=14×(1+1+1+1=1.②1.证明:由题意Mm,1m,如图所示,过点M分别作x轴,y轴的平行线,过点N分别作x轴,y轴的平行线,则An,1m,Bm,1n,形成的区域的面积分别为s1,s2,∴l=14pq=14(m+n=1=14[(s1+s2)+s2+(s1+s2+s3+s4)+(s2+s4=14[(s1+s2)+(s2+s4)+(s1+s2)+(s2+s4)+s3=14(1+1+1+1+s3=1+s34,当点M、N重合时,s3=0,∴l=1+s3∴l的最小值为1.27.(2021江苏常州,27,10分)在平面直角坐标系xOy中,对于A、A'两点,若在y轴上存在点T,使得∠ATA'=90°,且TA=TA',则称A,A'两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M(-2,0)、N(-1,0),点Q(m,n)在一次函数y=-2x+1的图象上.(1)①如图,在点B(2,0)、C(0,-1)、D(-2,-2)中,点M的关联点是(填“B”“C”或“D”);

②若在线段MN上存在点P(1,1)的关联点P',则点P'的坐标是;

(2)若在线段MN上存在点Q的关联点Q',求实数m的取值范围;(3)分别以点E(4,2)、Q为圆心,1为半径作☉E、☉Q.若对☉E上的任意一点G,在☉Q上总存在点G',使得G、G'两点互相关联,请直接写出点Q的坐标.备用图27.解析设A(x,y),T(0,a),A'(x',y'),将A,T,A'向下平移a个单位长度,则点T与原点重合,点A的对应点为A0(x,y-a),点A'的对称点A'0(x',y'-a).∵绕原点旋转90°的坐标变化规律为点(x,y)顺时针旋转90°,对应点为(y,-x),点(x,y)逆时针旋转90°,对应点为(-y,x),∴x0(x,y-a)绕原点旋转90°对应点为A'0(y-a,-x)或A″0(a-y,x),即顺时针旋转时x'=y-a,y'-a=-x,逆时针旋转时x'=a-y,y'-a=x,∴∴设A(x,y),T(0,a),则关联点A'(y-a,a-x)或(a-y,x+a).(1)①点M(-2,0)关于y轴上点T(0,a)的关联点坐标为A'(-a,a+2)或(a,-2+a),若点B(2,0)是M关联点,则-a=2,2+a=0或a∴T(0,2)或(0,-2),∴点B(2,0)是M的关联点.若点C(0,-1)是M的关联点,则-a=0,2+∴点C不是M的关联点.若点D(-2,-2)是M的关联点,则-a=-2∴点D不是M的关联点.∴点M的关联点是点B.②点P(1,1)关于点(0,a)的关联点P'的坐标为(1-a,a-1)或(a-1,a+1).若a-1=0,则a=1,此时P'(0,0)不在线段MN上,若a+1=0,则a=-1,此时P'(-2,0)在线段MN上,∴若线段MN上存在P(1,1)的关联点P',则P'坐标为(-2,0).(2)设T(0,a),由Q(m,n)得Q的关联点Q'为(n-a,a-m)或(a-n,a+m).∵Q(m,n)在y=-2x+1的图象上,∴n=-2m+1.∵Q'在线段MN上,M(-2,0),N(-1,0),∴当a-m=0,n=-2m当a+m=0,n=-2m综上所述,当23≤m≤1或-1≤m≤0时,线段MN上存在点Q的关联点(3)由题意,点E(4,2)与Q(m,n)互为关联点,设T(0,a),则Q(2-a,a-4)或(a-2,4+a).∵Q在y=-2x+1的图象上,∴n=-2m+1,∴当n=-2m+1,m=2-a,当n=-2m+1,m=综上所述,Q(3,-5)或-528.(2021江苏常州,28,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx(k≠0)和二次函数y=-14x2+bx+3的图象都经过点A(4,3)和点B,过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上一点(点D与点A、O、B不重合),E是射线AC上一点,且AE=OD,连接DE,过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,以DE、DF