10.第十章 机器人运动学

10工业机器人及其应用机器人运动学主编：郗安民

何春燕机械工业出版社目录第一节刚体的位姿描述第二节旋转矩阵第三节齐次坐标变换第四节坐标系之间的变换矩阵第五节机器人运动学方程第六节逆运动学问题第一节刚体的位姿描述

机器人运动学研究机器人末端执行器的位姿与机器人各个关节变量之间的关系。控制末端执行器在空间瞬时的位置与姿态，完成预定的作业任务。

正向运动学是给出机器人关节角度来求取末端执行器的位姿；

逆向运动学是已知末端执行器的位姿反求机器人的关节角度。一、位置描述图10-1刚体在空间中的位姿表示

二、姿态描述图10-1刚体在空间中的位姿表示

第二节旋转矩阵为使描述简便，式（10-3）中描述刚体相对参考坐标系指向的三个单位矢量可以组合成一个3×3的矩阵（10-4）

称为旋转矩阵，它的每一个分量是{B}各坐标轴在参考坐标系{A}各轴线方向上的投影，分别用一对单位矢量的点积来表示。因为

，即两个单位矢量的点积是二者之间夹角的余弦，因此旋转矩阵的各分量常被称作方向余弦。一、旋转矩阵的特性

（1）是正交矩阵；（2）逆矩阵等于其转置阵；（3）矩阵行列式等于1二、基本旋转

二、基本旋转

三、旋转矩阵的意义

（10-13）1.描述描述是表示一个坐标系相对于另一个坐标系的姿态。例10-1如图10-3，已知动坐标系

初始位姿与参考坐标系

相同，

相对

的

轴旋转了

，求

相对于

的姿态。解：因此，

相对于

的姿态可以用旋转矩阵表示为三、旋转矩阵的意义

（10-13）2.映射

旋转矩阵除描述相对姿态外，也可以用于同一点在两个不同坐标系（坐标原点重合）下的坐标变换，即为映射。相对于

坐标系，空间中的一点

可以表示为相对于

坐标系，空间中的一点

可以表示为由于：可得：即三、旋转矩阵的意义

（10-13）2.映射例10-2此图表示坐标系

由坐标系

绕

轴旋转30°得到。这里

轴指向纸面外方向。已知

，求

。解：据式（10-9），可得由式（10-16），可得三、旋转矩阵的意义

3.算子

（10-13）三、旋转矩阵的意义

（10-13）3.算子例10-3图10-6给出矢量

，计算绕

轴旋转30°得到的新矢量

。解：将矢量

绕

轴旋转30°得到的旋转矩阵与描述一个坐标系相对于参考坐标系

轴旋转30°得到的旋转矩阵是相同的。因此，旋转算子是：因此四、旋转矩阵与转角

如果将绕一个坐标轴进行基本旋转的旋转矩阵看作是单个角度函数,这样一般的旋转矩阵就可以通过3个基本旋转（两个连续旋转不得绕同一个轴进行）来实现。

空间中的转动是3自由度，那么如何把一般旋转矩阵所表达的姿态，拆解成3次旋转角度，以对应到3个自由度上去呢？

（10-13）四、旋转矩阵与转角

（10-13）（10-18）1.角（绕固定轴旋转）四、旋转矩阵与转角

（10-13）将旋转看作算子依次进行旋转时，先转的应放在后面，将矩阵左乘得四、旋转矩阵与转角

（10-13）

四、旋转矩阵与转角

2.欧拉角

（10-13）

四、旋转矩阵与转角

（10-13）从映射的角度来考虑，将某一个变量，从最后一个坐标系的描述，逐渐变换到对第一个坐标系的描述四、旋转矩阵与转角

（10-13）

四、旋转矩阵与转角

（10-13）同样，求z-y-z欧拉角的逆解方法如下:如果"sin"β≠0，则第三节齐次坐标变换

（10-13）空间中任意点P，令为点P相对参考坐标系{A}的位置矢量，

为坐标系{B}原点相对于坐标系{A}的位置矢量，

为坐标系{B}相对于坐标系{A}的旋转矩阵，同时令

为点P相对坐标系{B}的位置矢量。由此，点P关于参考坐标系{A}的位置矢量可以表示为一、齐次坐标

（10-13）

一、齐次坐标

（10-13）

二、齐次变换

（10-13）

二、齐次变换

（10-13）

三、齐次坐标变换计算

（10-13）

三、齐次坐标变换计算

（10-13）

三、齐次坐标变换计算

（10-13）

三、齐次坐标变换计算

（10-13）3.复合变换动坐标系

再平移

，有因为三次变换都是绕参考坐标系固定轴进行的，则矩阵左乘，所以合成的齐次变换矩阵为结论：若变换是动坐标系相对于参考坐标系进行的，则矩阵左乘；若变换是参考坐标系相对于动坐标系进行的，则矩阵右乘。三、齐次坐标变换计算

（10-13）

三、齐次坐标变换计算

（10-13）

三、齐次坐标变换计算

（10-13）4.逆变换例10-5已知变换矩阵如下，求其逆矩阵。解：用式（10-47）求解，由得第四节坐标系之间的变换矩阵一、多级坐标变换

（10-13）图10-10多级坐标变换

二、多种坐标系的变换

（10-13）

而在实际使用中，为了方便描述机器人的运动、作业的编程与操作，根据实际工作环境，可以定义多种坐标系。如图10-11所示，假设机器人要抓取放在工作台上的工件，需以一定的位姿向工作台处移动，为了方便描述机器人与周围环境的相对位姿关系，一般用到以下几种坐标系：图10-11机器人多种坐标系定义二、多种坐标系的变换

（10-13）

二、多种坐标系的变换

（10-13）

图10-12TCP的定义三、多种坐标系之间的变换矩阵

（10-13）

第五节机器人运动学方程

在建立坐标变换方程时，把一系列的坐标系建立在机器人连杆的关节上，用齐次坐标变换来描述这些坐标系之间的相对位置和方向，就可建立起机器人的运动学方程。现在的问题是如何在每个关节上确定坐标系的方向，以及如何确定相邻两个坐标系之间相对的平移和旋转量，即需要采用一种适合的方法来描述相邻连杆之间的坐标方向和几何参数。解决该问题常用的方法就是D-H参数法。

（10-13）一、D-H参数法

（10-13）

图10-14转动关节连杆D-H坐标系建立示意图一、D-H参数法

（10-13）图10-14转动关节连杆D-H坐标系建立示意图参数名称参数含义相关解释2.连杆参数二、连杆坐标系之间的坐标变换

（10-13）图10-14转动关节连杆D-H坐标系建立示意图

二、连杆坐标系之间的坐标变换

（10-13）图10-14转动关节连杆D-H坐标系建立示意图三、机器人运动学方程

（10-13）

这就是所说的机器人运动学方程。三、机器人运动学方程

（10-13）

三、机器人运动学方程

（10-13）例10-7PUMA560关节型六自由度机器人如图10-16所示，试计算其末端执行器作业点（TCP）的位姿矩阵。解（1）建立D-H坐标系，如图10-16所示

（2）确定连杆的D-H参数(如表所示)三、机器人运动学方程

（10-13）

三、机器人运动学方程

（10-13）（4）求机器人的运动方程。式中三、机器人运动学方程

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第六节逆运动学问题

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前面讨论了机器人运动学的正向求解问题，即给出关节变量值就可求出末端执行器在空间笛卡尔坐标系下的位姿，也就是说，实现了由机器人关节变量组成的关节空间到笛卡尔空间的变换。

但在机器人控制中，问题却往往相反，即需在已知末端执行器要到达的目标位姿的情况下求出所需的关节变量值，以驱动各关节的电动机旋转，使末端执行器的位姿满足要求，这就是机器人反向运动学问题，也称为求运动学逆解，即由笛卡尔空间到关节空间的逆变换。一、逆运动学的特性

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图10-20工作区域外逆解不存在一、逆运动学的特性

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图10-21机器人运动学逆解多解性示意一、逆运动学的特性

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二、逆运动学求解举例

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二、逆运动学求解举例