5-控制系统的稳定性

2026/6/81/85第5章控制系统的稳定性5.1稳定性的基本概念5.2代数稳定性判据5.3几何稳定性判据5.4系统的相对稳定性5.5切削过程的稳定性分析2026/6/82/85稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。第5章控制系统的稳定性2026/6/83/855.1稳定性的基本概念5.1.1稳定性的定义原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地恢复到原来的平衡状态的性能。小球的稳定性判定问题2026/6/84/85（1）定义5.1.2控制系统的稳定性条件稳定性：系统受到干扰后恢复到平衡位置的能力。系统的稳定性：系统的固有性质，取决于系统参数。2026/6/85/85系统的传递函数

此方程的根称为系统的特征根。

如果一个系统的特征根全部落在[s]平面的左半部分，则该系统是稳定的；否则系统是不稳定。当特征根具有负实部，则此特征根在复平面左侧。（2）系统稳定的充分必要条件系统的特征方程5.1.2控制系统的稳定性条件2026/6/86/855.1.2控制系统的稳定性条件（3）系统稳定条件的证明：2026/6/87/855.1.2控制系统的稳定性条件2026/6/88/855.1.2控制系统的稳定性条件2026/6/89/85当为实根时，即，若，则，则，则实根的位置与相应的分量如图所示。

（a）（c）（b）只有系统的所有实根都为负值时，系统才稳定。5.1.2控制系统的稳定性条件2026/6/810/855.1.2控制系统的稳定性条件当为共轭复根时，即则相应的分量可写成：或可写成2026/6/811/855.1.2控制系统的稳定性条件（1）如果则则则（2）如果（3）如果其分量为衰减振荡，最后趋于零，系统稳定。其分量为等幅振荡，系统属于临界稳定。其分量呈发散振荡状态系统不稳定。2026/6/812/855.1.2控制系统的稳定性条件共轭复根情况下的系统稳定性

(a)（b)

(c)共轭复根的位置与相应的分量如下图所示。

2026/6/813/855.1.3线性系统稳定的充分必要条件线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。（1）线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说，特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。（2）由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以又可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在[S]平面的左半部分。（3）如果特征方程在复平面的右半平面上没有根，但在虚轴上有根，则可以说该线性系统是临界稳定的。2026/6/814/855.2代数稳定性判据

设系统特征方程的一般形式为式中均为实数。

5.2.1劳斯判据在特征方程中,复数根与系数的关系：

2026/6/815/855.2代数稳定性判据

5.2.1劳斯判据（2）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数

(i=0，1，2，…，n)。要使全部特征根均具有负实部，必须满足：——必要条件！2026/6/816/855.2代数稳定性判据

5.2.1劳斯判据充要条件：劳斯阵列：

如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。2026/6/817/855.2代数稳定性判据

5.2.1劳斯判据……

计算bi时所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的。系数b的计算一直进行到其余值为零时止。2026/6/818/855.2代数稳定性判据

5.2.1劳斯判据……

显然，计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二、三行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的，同样，系数c的计算一直进行到其余值为零为止。2026/6/819/855.2代数稳定性判据

5.2.1劳斯判据劳斯稳定性判据系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列元素全部大于零。若出现小于零的元素，系统就不稳定。第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。必要条件是：

1）特征方程的各项系数大于零。

2）特征方程的各项系数的符号都相同。。2026/6/820/855.2.1劳斯判据例5.1设控制系统的特征方程式为解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。因为：第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，则：控制系统不稳定。2026/6/821/855.2.1劳斯判据例5.2

系统的特征方程为用劳斯判据判断系统是否稳定。解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下2026/6/822/855.2.1劳斯判据劳斯表为2026/6/823/855.2.1劳斯判据劳斯表为

表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以得到4个根，分别为：显然，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。2026/6/824/855.2.1劳斯判据二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可简化：2026/6/825/855.2.1劳斯判据三阶系统特征式为，劳斯表:故三阶系统稳定的充要条件是2026/6/826/855.2.2赫尔维茨判据系统的特征方程式系统的闭环传递函数2026/6/827/855.2.2赫尔维茨判据（２）由系统特征方程各项系数组成的赫尔维茨行列式各阶主子式都大于零，即系统稳定的充分必要条件：令方程首项系数（1）系统特征方程的各项系数全部为正值，即2026/6/828/855.2.2赫尔维茨判据2026/6/829/855.2.2赫尔维茨判据例5.3设控制系统的特征方程式为解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。各系数排成行列式试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。2026/6/830/855.2.2赫尔维茨判据由于故该系统稳定。2026/6/831/855.2.2赫尔维茨判据试求使系统稳定的K值范围。解：系统的特征方程例5.4单位负反馈系统的开环传递函数为2026/6/832/855.2.2赫尔维茨判据2026/6/833/855.3几何稳定性判据

代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。代数稳定性判据的不足：定性——较难从量上判断系统的稳定程度

必须知道系统的闭环传递函数几何稳定性判据的特点：对含有延迟环节的系统无效根据开环频率特性判断闭环稳定性能判断系统的稳定程度2026/6/834/855.3几何稳定性判据

5.3.1幅角定理设有一复变函数：设在[]平面上为一单值复变函数，其零极点图如图5.2（a）所示。在[]平面上取一封闭曲线，记为，要求不通过的任一极点和零点。设包围了的个零点和个极点。记在[]平面上的映射为，因为为一单值复变函数，所以是唯一的，也是一个封闭曲线，如图5.2（b）所示。

2026/6/835/85若N>0，则按顺时针方向绕[F]平面坐标原点N周；若N<0，则按逆时针方向绕[F]平面坐标原点N周；若N=0，则不包围[F]平面坐标原点。5.3.1幅角定理设在平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在平面上任选一封闭曲线，并使不通过的奇点，则平面上的封闭曲线

映射到平面上也是一条封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，则在平面上，曲线按顺时针方向旋转的周数N（每旋转2

弧度为一周），或按顺时针方向包围平面原点的次数，等于封闭曲线内包含

的零点数Z与极点数P之差。即 2026/6/836/85

根据复数性质可知，两个复数积的幅角等于它们幅角的和。则F(s)函数的幅角为:

设F(s)的零点和极点的分布如图所示。关于幅角原理的说明5.3.1幅角定理2026/6/837/85复数和在[s]平面上的分量分别由和指向。图5.3关于幅角原理的说明5.3.1幅角定理若动点按顺时针沿转一周，由图5.3(a)可见，只有向量的幅角变化是，即，其余向量的幅角变化全是零。由式（5-11）可知，。这说明向量的轨迹按顺时针方向绕[]平面原点转一周，如图5.3(b)所示。2026/6/838/855.3.1幅角定理幅角与零和极点的关系幅角原理表达式包围的函数的零点的个数包围的函数的极点的个数2026/6/839/855.3.2奈奎斯特稳定性判据L1和L2两段线包围了复平面[s]的右半面。

奈奎斯特路径是包围[s]平面右半面的顺时针方向的封闭曲线Ls

，它由两段有向线构成，如图所示，其中L1为沿[s]的虚轴由的直线，L2为以为半径从虚轴的正向顺时针转π角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。L1L22026/6/840/855.3.2奈奎斯特稳定性判据⑴系统开环频率特性与开、闭环特征式的关系对于如图所示的闭环控制系统，其传递函数为：

系统的特征方程由闭环系统传递函数的分母等于零得出，即系统的特征方程为：即

+-2026/6/841/855.3.2奈奎斯特稳定性判据系统的特征函数

将其写成一般的形式为

结论

2026/6/842/855.3.2奈奎斯特稳定性判据

在[s]平面的封闭曲线Ls（见图a）映射到[F]平面为曲线LF。

2026/6/843/855.3.2奈奎斯特稳定性判据系统稳定的充分必要条件是系统闭环传递函数的特征根全部落在[s]平面的左半部分，即：要使闭环系统稳定，要求系统闭环传递函数的特征根全部落在[s]平面的左半部分,就变成了要求F(s)函数的全部零点必须位于[s]平面的左半平面。由于：因此，F(s)函数的零点就是系统闭环传递函数的极点。2026/6/844/855.3.2奈奎斯特稳定性判据应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下面几种情况：

闭环系统稳定的充分必要条件是，

平面上的奈奎斯特曲线当时，按包围点的周数判别。1、当系统开环传递函数的全部极点都位于平面左半部时(即）时,如果系统的奈氏曲线不包围平面的点（

），也就是开环传递函数的全部零点也都位于平面的左半部时，则闭环系统是稳定的(

）；否则是不稳定的，也就是有零点在平面的右半部。

2026/6/845/855.3.2奈奎斯特稳定性判据

3、当系统开环传递函数有

个位于平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围点的周数等于位于平面右半部的开环极点数(

)，也就是说系统开环传递函数位于平面右半部的零点数为零，则闭环系统是稳定的(

),否则是不稳定的。

2、如果系统的奈氏曲线顺时针包围点，这就是说系统开环传递函数有位于平面右半部的点（），则闭环系统不稳定。2026/6/846/855.3.2奈奎斯特稳定性判据

4、在有些特殊情况下，奈氏曲线恰好通过平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。2026/6/847/855.3.2奈奎斯特稳定性判据

由右图可见，开环奈奎斯特曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，即N＝+1；而开环特征根全部位于左半s平面，即P＝0，由奈奎斯特判据知，系统闭环不稳定。例5.5：已知系统开环传递函数应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性解：开环传递函数的三个极点都在[S]平面的左侧2026/6/848/855.3.2奈奎斯特稳定性判据例5.6

设系统的开环传递函数为试分析系统的稳定性。解：当时当时2026/6/849/855.3.2奈奎斯特稳定性判据稳定不稳定图5.7例5.6系统的奈氏曲线由于在s平面的右半平面无极点，故P=0。2026/6/850/855.3.3对数频率特性的稳定性判据系统开环频率特性的奈奎斯特图和伯德图之间存在着一定的对应关系。如果开环频率特性G(jω)与单位圆相交的一点频率为ωc（幅值交界频率），而与实轴相交的一点频率为ωg（相位交界频率），当幅值A(ω)≥1时(在单位圆上或在单位圆外)就相当于：当幅值A(ω)<1时(在单位圆内)就相当于：2026/6/851/855.3.3对数频率特性的稳定性判据根据奈奎斯特稳定性判据，若一个控制系统，其开环是稳定的，闭环系统稳定的充分必要条件是开环奈奎斯特特性G(jω)不包围(-1,j0)点。

图5.8中的特性曲线1对应的闭环系统是稳定的，而特性曲线2对应的闭环系统是不稳定的。图5.8极坐标图与其对应的伯德图

2026/6/852/855.3.3对数频率特性的稳定性判据

所以，对应下图特性曲线（如果闭环系统是稳定的，即对应于曲线1）。而在ωg点处（曲线1）在ωc点处（曲线1）：2026/6/853/855.3.3对数频率特性的稳定性判据由此可知：奈奎斯特图上Gk(s)的单位圆与Bode图对数幅频特性的零分贝线相对应，单位圆与负实轴的交点与伯德图对数相频特性的-π轴对应。开环伯德图与开环奈奎斯特图的对应关系（1）奈奎斯特图上的单位圆对应于伯德图上的线，即对数幅频特性图的横轴。因为此时（2）奈奎斯特图上的负实轴相当于伯德图上的线，因为此时而单位圆之外即对应于对数幅频特性图的线之上。2026/6/854/855.3.3对数频率特性的稳定性判据

因此，开环奈奎斯特曲线在(-1,j0)点以左的实轴穿越就相当于L(ω)≥0的所有频率范围内的对数相频特性曲线与-180o的穿越点。由穿越的定义可知，当ω增加时相角增大为正穿越，所以，在对数相频特性图中，L(ω)≥0范围内开环对数相频特性曲线由下而上穿过-180o线时为正穿越，反之，为负穿越。

图5.8极坐标图与其对应的伯德图2026/6/855/85（1）如果系统开环是稳定的（即P=0）（通常为最小相位系统），则在L(ω)≥0的所有频率值下，相角不超过-180o线或正负穿越之差为零，那么闭环系统是稳定的。（2）如果系统在开环状态下的特征方程式有P个根在复平面的右边（即为非最小相位系统），它在闭环状态下稳定的充分必要条件是：在所有L(ω)≥0的频率范围内，相频特性曲线在-180o线上的正负穿越之差为P/2。对数频率特性的稳定性判据5.3.3对数频率特性的稳定性判据2026/6/856/85曲线与–180°线永无交点，且线均在–180°线之上，故闭环系统总是稳定的。5.3.3对数频率特性的稳定性判据例5.7已知开环传递函数为试分析其稳定性。解：作伯德图如图所示。由图可见，2026/6/857/85例5-6

已知系统的开环传递函数位于右半平面的极点个数P，以及系统的开环伯德图如图5-6a、b、c所示，试判断闭环系统的稳定性。5.3.3对数频率特性的稳定性判据(a)(b)(c)不稳定稳定稳定2026/6/858/855.4系统的相对稳定性

在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。所谓相对稳定性就是指稳定系统的稳定状态距离不稳定(或临界稳定)状态的程度。反映这种稳定程度的指标就是稳定裕度。对于最小相位的开环系统，稳定裕度就是系统开环极坐标曲线距离实轴上点的远近程度。这个距离越远，稳定裕度越大，系统的稳定程度越高。2026/6/859/855.4系统的相对稳定性

特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离表征了稳定的裕度。

稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。注意：虚轴是系统的临界稳定边界相对稳定性和稳定裕量2026/6/860/855.4系统的相对稳定性

稳定的裕度表现在于：G(j)H(j)曲线轨迹靠近(-1,j0)点的程度。在开环传递函数的GH平面上稳定裕量概述——相对稳定性和稳定裕量2026/6/861/855.4系统的相对稳定性

定义：交点（幅值交界频率）的矢量与负实轴的夹角为相位稳定裕度，即

5.4.1相位稳定裕度

2026/6/862/855.4系统的相对稳定性

稳定裕度最小相位系统的稳定裕度2026/6/863/855.4系统的相对稳定性

相角裕度指幅值穿越频率所对应的相移与－1800角的差值，即对于最小相位系统，如果相角裕度，系统是稳定的，且值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，系统处于临界稳定状态。

使系统达到临界稳定状态时的开环频率特性的相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。相角裕度的含义：2026/6/864/855.4系统的相对稳定性

交点处幅值的倒数称为幅值稳定裕度。

幅值稳定裕度用分贝表示为：5.4.2幅值稳定裕度2026/6/865/855.4系统的相对稳定性

在相位穿越频率上，使所应增大的开环增益倍数，叫幅值裕度，以表示。即，则

对于最小相位系统，当幅值裕度，系统是稳定的，且值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，是临界稳定状态。5.4.2幅值稳定裕度2026/6/866/855.4系统的相对稳定性

系统稳定的条件稳定裕量2026/6/867/855.4系统的相对稳定性

稳定裕量的讨论

稳定裕量定义只适用于最小相位系统。

稳定裕量可以作为频域性能指标用于系统分析，也可以用于系统设计指标使用。

稳定裕量又可成为相对稳定性指标。

相角裕量计算简单方便，因此经常使用相角裕量。2026/6/868/855.4系统的相对稳定性

1.

系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅值裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅值裕度。总结：

2026/6/869/855.4系统的相对稳定性

特征方程的系数例5.9已知单位负反馈系统的闭环传递函数为求使此闭环系统稳定时的取值范围。当时，求闭环系统的相角稳定裕度和幅值稳定裕度。。

2026/6/870/855.4系统的相对稳定性

2026/6/871/855.4系统的相对稳定性

2026/6/872/855.4系统的相对稳定性

2026/6/873/855.4系统的相对稳定性

⑴系统开环增益由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值裕度储备和相角裕度储备，从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的最简便方法。5.4.3影响系统稳定性的主要因素⑵积分环节由系统的相对稳定性要求可知，Ⅰ型系统(含1个积分环节)的稳定性好，Ⅱ型系统稳定性较差，Ⅲ型以上系统就难于稳定了。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过2。2026/6/874/855.4系统的相对稳定性

⑶系统固有频率和阻尼比众所周知，最小相位二阶系统不存在稳定性问题，即系统开环增益和时间常数不影响稳定性。但高于二阶的系统，由于存在储能元件，系统参数匹配不合理则会造成系统不稳定。在开环增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能越大，系统的相对稳定性会越好。5.4.3影响系统稳定性的主要因素⑷延时环节和非最小相位环节延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角裕度储备，降低稳定性，因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。2026/6/875/855.5切削过程的稳定性分析

用控制理论分析外圆车削过程产生自激振荡的机理，研究切削过程绝对稳定的条件。在车削过程中经常出现一些偶然因素，例如：（1）材料的硬点或缺陷会使刀具产生振动；（2）刀具的振动会在工件的已加工表面留下振痕；（3）刀具完全或部分重复切削到前一次或前一个刀齿切削过的表面，当刀具再一次切削这些有振痕的表面时，切削厚度就发生变化，切削厚度的变化可引起切削力的波动，又激起刀具和工件的相对振动，并再次残留下振痕。如此重复循环，有可能使开始较少的振痕波及整个加工表面，形成自激振荡。2026/6/876/855.5.1切削系统的数学模型

图5.12车削过程的模型刀具在方向的进给将引起切削力切削力使刀具产生的弹性变形量在方向的折算粘性摩擦系数在方向的折算弹簧刚度在方向的折算质量2026/6/877/855.5.1切削系统的数学模型

车削力可由下面近似公式给出，即：①列写车削过程的原始方程

式中：为重叠系数，无量钢，它表明相邻进给