6-控制系统的误差分析

2026/6/81/53第6章控制系统的误差分析6.1误差的概念6.2系统的类型6.3静态误差6.4动态误差6.5工程中的误差分析实例2026/6/82/53第6章控制系统的误差分析控制系统的性能是由动态性能和稳态性能两部分组成，因此系统的误差也可以分为动态误差和稳态误差。动态误差是指误差随时间变化的过程值，而稳态误差是指误差的终值。瞬态响应的性能指标可以评价系统的快速性和稳定性，系统的准确性指标需用误差来衡量。控制系统的准确性（或称精度）是对控制系统的基本要求之一，系统的精度是用系统误差来度量的。稳态性能用系统的稳态误差表示，它是系统控制精度的度量，一个符合工程要求的系统，其稳态误差必须控制在允许的范围内。2026/6/83/53第6章控制系统的误差分析

对于一个实际的控制系统，由于系统的结构、传递函数的类型、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量保持一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。这类由于系统结构、类型和输入信号形式所产生的稳态误差称为原理性稳态误差。此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。这类由于非线性因素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或结构性稳态误差。

稳态误差表征了系统的精度及抗干扰能力。同时需要指出，只有稳定的系统才存在稳态误差。

2026/6/84/536.1误差的概念

（1）误差

图6.1闭环控制系统误差信号方框图由图可见，希望的输出信号与输入信号之间的关系如下：因此，误差信号为：在单位反馈情况下：（6.1）

2026/6/85/536.1误差的概念

（2）偏差信号

图6.1闭环控制系统误差信号方框图控制系统的主反馈通道的传递函数为：实际的输出信号为：（6.2）

2026/6/86/536.1误差的概念

（3）误差和偏差的定义差异

图6.1闭环控制系统误差信号方框图（6.3）

这是从系统的输出端定义的。

这是从系统的输入端定义的。

2026/6/87/536.1误差的概念

（4）希望输出信号的确定

当控制系统有偏差信号时，实际输出信号与希望输出信号不同，有：即：将带入上式，得：在单位负反馈系统中，有：（6.4）

2026/6/88/536.1误差的概念

（5）信号偏差与信号误差的关系当将式（6.4）代入（6.3），并考虑式（6.2）得：

这是误差信号与偏差信号之间的关系式。单位负反馈系统：（6.5）

误差与输入信号的关系：2026/6/89/536.2系统的类型

一般系统的开环传递函数G(s)H(s)可以写成如下形式(4-9-11)系统的开环增益系统中含有的积分环节的个数，称为系统的型次，无积分环节，称为0型系统；，有一个积分环节，称为I型系统；，有两个积分环节，称为II型系统。依此类推。………………当时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。2026/6/810/536.2系统的类型

稳态误差的大小与开环传递函数的时间常数τi

(i=1,2,…,m),Tj(j=1,2,…,n-λ)均无关。

由式(6.8)知，与系统稳态误差有关的因素有：系统的开环增益K，系统类型及输入信号Xi(s)等。系统的开环传递函数表达式：系统的偏差（误差）表达式：

2026/6/811/536.2系统的类型

当0系统的开环传递函数可以表示为：（6.6）当Ⅰ系统的开环传递函数可以表示为：（6.8）当Ⅱ系统的开环传递函数可以表示为：（6.9）2026/6/812/536.2系统的类型

稳态误差的大小与开环传递函数的时间常数τi

(i=1,2,…,m),Tj(j=1,2,…,n-λ)均无关。

由式可见，给定作用下的稳态误差与与积分环节的个数有关（系统类型）；系统的开环增益K；以及输入信号等有关。由式（6.6）-式（6.9）可见，系统的开环传递函数可以写成下列形式：注意：系统的类型与系统的阶次是两个不同的概念。为Ⅰ型系统，而系统是三阶系统。例如，2026/6/813/536.3静态误差

稳态误差是误差信号的稳态分量，即：（6.10）

根据拉氏变换的终值定理得稳态误差：图6.1所示的系统偏差：单位反馈系统的稳态误差为：

（6.10）

图6.1系统误差信号方框图

2026/6/814/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

系统对单位阶跃输入的稳态误差称为静态位置误差

（1）单位阶跃信号输入式中：称为静态位置误差系数；

当输入为时（单位阶跃函数）系统的静态位置误差为：

2026/6/815/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（1）单位阶跃信号输入静态位置误差为：

静态位置误差为：

2026/6/816/53在单位阶跃作用下，的系统为有差系统，此时开环增益K越大稳态误差越小；的系统为无差系统。

的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪阶跃输入的能力。6.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（1）单位阶跃信号输入

0型系统对于阶跃输入具有稳态误差，只要开环系数足够大，该稳态误差可以足够小。过高的开环放大系数会使系统变得不稳定。如果要求控制系统对阶跃输入没有稳态误差，则系统必须是I型或高于I型的系统。2026/6/817/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

系统对单位斜坡输入的稳态误差称为静态速度误差

（2）单位斜坡信号输入当输入为时（单位斜坡函数）式中：称为速度误差系数。

系统的静态速度误差为：

2026/6/818/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（2）单位斜坡信号输入静态速度误差：

静态速度误差：

2026/6/819/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（2）单位斜坡信号输入静态速度误差：

的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪斜坡输入的能力。根据计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时的误差。2026/6/820/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

系统对等加速度输入引起的稳态误差称为静态加速度误差

（3）单位加速度信号输入当输入为时（单位加速度函数）式中：称为加速度误差系数。

系统的静态加速度误差为：

2026/6/821/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（3）单位加速度信号输入静态加速度误差：

静态加速度误差：

2026/6/822/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（3）单位加速度信号输入静态加速度误差：

静态加速度误差：

2026/6/823/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

（3）单位加速度信号输入

的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪抛物线输入的能力。根据计算的稳态误差是系统在跟踪加速度输入函数时的误差。2026/6/824/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

当系统的输入信号由位置、速度和加速度分量组成时，即小结：给定系统的稳态误差与输入信号有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与控制系统的开环增益有关；对有差系统，K↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。所以Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。当时，有组合输入时的稳态误差2026/6/825/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

表6-1单位反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差阶跃输入斜坡输入抛物线输入KpKvKa位置误差速度误差加速度误差0ⅠⅡ系统型别静态误差系数pssKAe+=1vssKBe=assKCe=2026/6/826/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

典型一阶系统的稳态误差-2026/6/827/536.3.1静态误差系数和静态误差的计算

典型二阶系统的稳态误差-2026/6/828/536.3.2干扰输入作用下的静态误差称为扰动误差。

-+通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。当时，产生的则偏差为：而误差为：

2026/6/829/536.3.2干扰输入作用下的静态误差可见，不仅与有关，还与和有关（扰动点到偏差之间的那部分通道传递函数）。

式中：扰动输入作用下的稳态误差当系统的开环传递函数可表示为2026/6/830/536.3.2干扰输入作用下的静态误差上式中为开环传递函数所具有的积分环节个数。上节内容则，两式的结果为：

2026/6/831/536.3.3复合控制系统的误差分析

若系统同时受到输入信号和干扰信号的作用，则由叠加原理，系统总的稳态误差等于参考输入和干扰输入分别作用时的稳态误差之和。当系统存在扰动时，系统的总误差为式中：为系统输入所引起的误差；为系统扰动所引起的误差。2026/6/832/536.3.3复合控制系统的误差分析

根据叠加原理可求得系统的输出为

上式记为：式中，

是输出信号

对输入信号

的传递函数

是输出信号

对干扰信号

的传递函数

2026/6/833/536.3.3复合控制系统的误差分析

上式记为：式中，

是误差信号

对输入信号

的传递函数

计算，得误差（这是误差计算式）：

是误差信号

对干扰信号

的传递函数

2026/6/834/536.3.3复合控制系统的误差分析

稳态误差

系统的稳态误差不仅与系统的开环传递函数有关，而且也与输入信号的形式和大小有关。2026/6/835/536.3静态误差

系统的实际输出通过反馈环节与输入比较，因此反馈通道的精度对于减小系统误差至关重要；反馈通道元件的精度要高，避免在反馈通道引入干扰。

在保证系统稳定的前提下，对于输入引起的误差，可通过增大系统开环放大倍数和提高系统的型次减小。

在保证系统稳定的前提下，对于干扰引起的误差，可通过在系统前向通道干扰点前加积分器和增大放大倍数减小。[减小系统误差的途经]：

有的控制系统要求的性能很高，既要求稳态误差小，又要求良好的动态性能。这时单靠加大开环放大倍数或者串入积分环节往往不能同时满足上述要求，这时可采用复合控制的方法，或称顺馈的方法来对误差进行补偿。2026/6/836/536.4动态误差

前面讨论的误差系数都称为静态误差系数。它们分别针对输入为阶跃函数、斜坡函数和加速度函数而言的。其特点是对于一个给定系统只有一个系数为有限值，其它系数不是零就是无穷大。因而，通过静态误差系数求得的稳态误差或是零，或是有限非零值，或是无穷大，而不反映误差与时间的关系。

动态误差系数法，研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差与时间的关系，因此动态误差系数又称广义误差系数。现只考虑给定作用与偏差之间的误差传递函数2026/6/837/536.4动态误差

考虑到t→∞时的情况，也就是s→0的情况。将误差传递函数在s=0的邻域内展开成泰勒级数：式中：……2026/6/838/536.4动态误差

于是，误差函数为：这个级数的收敛域是s=0的邻域，相当于t→∞时的情况。求拉氏反变换，可得t→∞时误差函数的表达式：2026/6/839/536.4动态误差

可见，t→∞时的误差函数的表达式与输入函数及其各阶导数有关。仿照静态误差系数的定义,可定义动态误差系数如下：k0─动态位置误差系数k1─动态速度误差系数k2─动态加速度误差系数

应当指出，这里所谓“动态”两字的含义是指这种方法可以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量ets(t)随时间变化的情况，即不应包含的误差信号中随时间趋于零的分量。此外上面给出的误差级数仅在t→∞时成立，因此如果输入信号r(t)中包含有随时间趋于零的分量，则这些分量不应包含在稳态误差级数表达式中的输入函数及其各阶导数之内。2026/6/840/536.4动态误差

动态误差系数的另一种求法（第二种解法）

将误差传递函数写成s有理分式形式，利用长除法得到各动态误差系数。当v=0时2026/6/841/536.4动态误差

当v=1时当v=2时2026/6/842/536.4动态误差

例6.1设某单位反馈控制系统的开环传递函数求输入

xi(t)=a0+a1t+a2t2时的动态误差。系统的误差传递函数为：当开环传递函数为I型系统时（由第二种解法）解：已知系统为I型系统。依据表6-1，系统的静态误差系数为：2026/6/843/536.4动态误差

即

则动态误差系数：2026/6/844/536.4动态误差

因为

故动态误差为：

借助于计算机仿真，可以求得e(t)的波形和数值，即可以准确地求出动态误差。2026/6/845/536.5工程中的误差分析实例例6.2某单位反馈的电液反馈伺服系统，其开环传递函数为：解：该系统的静态误差系数为：所以该系统对三种典型输入的稳态误差分别为：位置误差：速度误差：加速度误差：

试分别求出该系统对单位阶跃、等速、等加速输入时的稳态误差。2026/6/846/536.5工程中的误差分析实例例6.3系统结构图如图所示。当时，求系统的稳态误差；若要求稳态误差为零，如何改变系统结构。该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差但该系统对于扰动输入为单位阶跃函数时的稳态误差并不等于零。根据前面的分析知，稳态误差与G1中的增益和积分环节的个数有关。此时因G1无积分环节，所以：-+则：

解：2026/6/847/536.5工程中的误差分析实例若想使稳态误差为零，则要求G1中有积分环节，令此时-+由于此时系统的稳定性遭到破坏，成为结构不稳定系统，直接加一个积分环节是不可行的。若要使系统稳定，还必须在原G1中引入比例+微分环节。-+当K1>0，K2>0，τ>0时系统稳定2026/6/848/536.5工程中的误差分析实例由此可见当用时，才能在保证稳定的前提下使系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零。这个环节称为比例+积分环节或比例+积分控制器(PI控制器)。这个环节称为比例+积分+微分环节或比例+积分+微分控制器（PID控制器）。所谓比例+积分(P