7-控制系统的根轨迹

2026/6/81/59第7章控制系统的根轨迹7.1根轨迹与控制系统特性7.2绘制根轨迹的基本法则7.3用根轨迹分析控制系统的性能7.4利用MATLAB绘制系统根轨迹2026/6/82/59第7章控制系统的根轨迹

系统稳定的充要条件是其闭环极点全部具有负的实部。闭环极点决定了闭环系统瞬态响应的基本特征。因此，在分析和处理闭环系统问题时，确定闭环极点在[s]平面上的位置是十分重要的。在设计闭环系统时，也往往通过调整开环极点和零点的位置，使闭环极点和零点位于[s]平面上所希望的区域。所以，控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法，设计时可以每调整一次增益求解一次特征方程。

根轨迹设计方法是基于系统开环极点和零点与闭环极点和零点的内在联系建立的一种图解方法，是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。

2026/6/83/597.1根轨迹与控制系统特性

7.1.1根轨迹的基本概念

根轨迹图是闭环系统特征方程的根(即闭环极点)随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在[s]平面上的变化轨迹。开环极点

为了说明根轨迹的基本概念，以图7-1所示系统为例，分析系统参数K由零到正无穷大变化时，闭环特征方程的根在[s]平面上变化的情况。解：系统开环传递函数为图7-1控制系统方框图式中为开环增益。开环没有零点。2026/6/84/59系统的闭环传递函数系统的特征方程为特征方程的根是系统开环增益K和系统闭环特征根的关系:当K＝0时，当K＝0.25时，当K＝1时，7.1.1根轨迹的基本概念

图7-1控制系统方框图2026/6/85/597.1.1根轨迹的基本概念

当变化时，则K由变化时，闭环特征方程的根在[s]平面上移动的轨迹如图7-2。图7-2图7-1的根轨迹2026/6/86/59由例题可见，当系统参数为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在[s]平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。

值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。利用根轨迹法，可以：分析系统的性能确定系统的结构和参数校正装置的综合[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。7.1.1根轨迹的基本概念

2026/6/87/597.1.2根轨迹与系统性能

绘制根轨迹的目的：①稳定性当开环增益由零变到无穷时，根轨迹不越过虚轴进入右半平面的话，系统就是稳定的。根轨迹与虚轴交点处的值是临界开环增益。

②稳态性能开环系统在坐标原点处的极点数目是积分环节的数目，即是系统类型。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。③动态性能所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应无超调；当闭环系统的两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度比过阻尼情况要快；当闭环系统的极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。从例题分析可以看出，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系。2026/6/88/597.2绘制根轨迹的基本法则7.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件对于一般的反馈控制系统，系统的结构图如下：闭环传递函数为

图7-3闭环控制系统方框图开环传递函数为一般情况下，前向通道的传递函数G(s)可表示成2026/6/89/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件前向通路增益前向通路根轨迹增益式中，

反馈通路传递函数H(s)可分别表示反馈通路增益反馈通路根轨迹增益式中，

2026/6/810/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件前向通路传递函数零点。前向通路传递函数极点。反馈通路传递函数零点。反馈通路传递函数极点。开环系统的极点数开环系统的零点数开环系统根轨迹增益。2026/6/811/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件⑵闭环零点由前向通路传递函数零点和反馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。结论：⑴闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；⑶闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。系统的闭环传递函数如下2026/6/812/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

（1）求出和时的特征根（2）根据绘制法则大致画出时的根轨迹草图（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制绘制根轨迹的一般步骤：绘制根轨迹图的方法手工画概略图（草图）手工图解加计算画准确图计算机绘制精确图2026/6/813/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件根轨迹方程---相角条件、幅值条件闭环系统的特征方程为：

(7-4)

绘制根轨迹的实质就是寻求闭环特征方程在参数发生变化时的根

。

因此满足方程式

(7-5)或

(7-8)的s值，都必定是根轨迹上的点，称式（7-8）为根轨迹方程。2026/6/814/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件

由于为复数，根轨迹方程，根据等式两边的相角和幅值分别相等的条件，可将式（7-8）分解为下面两个方程。向量的幅值和相角形式为

相角条件

(7-7)或

(7-11)2026/6/815/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件幅值条件

(7-5)即

(7-10)因此，满足幅值条件和相角条件的s值，就是特征方程的根，也就是闭环极点。2026/6/816/597.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件

满足相角条件的s值代入幅值条件方程式中，总可以求得一个对应的。

也就是说，s值满足相角条件方程，则必定也同时满足幅值条件方程。所以，相角条件方程是决定闭环特征根的充要条件。也就是说要画出系统的根轨迹，只要在[s]平面上找到满足相角条件的点就可以了。

由根轨迹方程可以看出：2026/6/817/597.2.2绘制根轨迹的基本规则通常把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹称为普通根轨迹或一般根轨迹。下面讨论绘制普通根轨迹的基本规则，这些基本规则同样适用于其他参数可变的情况

。规则一根轨迹的分支数、连续性、对称性规则二根轨迹的始点和终点规则三实轴上的根轨迹规则四根轨迹的渐近线规则五根轨迹的分离点规则六根轨迹的起始角与终止角（出射角或入射角）

规则七根轨迹与虚轴的交点及临界增益值2026/6/818/597.2.2绘制根轨迹的基本规则规则一根轨迹的分支数、连续性和对称性分支数：即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在[s]平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。其阶次为故分支数为连续性：系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量[s]有一一对应的关系，当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量[s]在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是连续的曲线。对称性：由于实际的物理系统的参数都是实数，如果它的特征方程有复数根的话，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。系统的特征方程式2026/6/819/597.2.2绘制根轨迹的基本规则根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。结论：2026/6/820/597.2.2绘制根轨迹的基本规则规则二根轨迹的起点和终点起点即：根轨迹起始于开环极点。所以根轨迹方程

时，闭环极点等于开环极点。终点2026/6/821/597.2.2绘制根轨迹的基本规则所以即：根轨迹终止于开环零点。1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。2026/6/822/597.2.2绘制根轨迹的基本规则结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于[s]平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于[s]平面的无穷远处(无限极点)。2026/6/823/597.2.2绘制根轨迹的基本规则

若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。规则三

实轴上的根轨迹

即：实轴上的根轨迹，其右边开环零点和极点的个数之和

为奇数。

由相角条件

可知，开环零点和开环极点到某条根轨迹上的某一点的夹角为的奇数倍。2026/6/824/597.2.2绘制根轨迹的基本规则

为确定实轴上的根轨迹，选择s0作为试验点。图7-3中，开环极点到s0的向量的相角为开环零点到s0的向量的相角为。共轭复数极点

和

到s0的向量的相角和为共轭复数零点

和到s0的向量的相角和为因此，当我们在确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。图7-3实轴上的根轨迹2026/6/825/597.2.2绘制根轨迹的基本规则下面分析位于实轴上的开环零、极点对相角的影响。实轴上，s0点左侧的开环零点到s0的向量的相角为0，而s0点右侧的开环零点和开环极点到s0的向量的相角均为。若s0为根轨迹上的点，则必须满足相角条件，即由以上分析可知，只有s0点右侧的开环零点和开环极点的个数之和为奇数时，才能满足相角条件。所以，在图7-3中，实轴上的根轨迹为和两段。

2026/6/826/597.2.2绘制根轨迹的基本规则规则四根轨迹的渐近线当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于[s]平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线。渐近线与实轴的交点位置为,与实轴正方向的交角为取不同值时,有个

,故渐近线有条，事实上有个无限远零点。2026/6/827/597.2.2绘制根轨迹的基本规则规则五根轨迹的分离点两条或两条以上根轨迹分支在[s]平面上相遇又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(会合点)。分离点的坐标d或开环零点的数值。开环极点的数值。分离角为进入分离点的分支数。必须指出，规则五中用来确定分离点的条件只是必要条件，而不是充分条件。

2026/6/828/597.2.2绘制根轨迹的基本规则一般情况下(1)在实轴上，若两个相邻极点间存在根轨迹，则该段根轨迹上必有一分离点；

(2)在实轴上，若两个相邻零点间存在根轨迹，则该段根轨迹上必有一会合点；(3)在实轴上，若两个相邻的零极点间不存在根轨迹，则该段根轨迹上一般无会合点；(4)实轴上，分离点的分离角恒为。

2026/6/829/597.2.2绘制根轨迹的基本规则⑴起始角在根轨迹离开开环复数极点处，其切线方向与实轴正方向的夹角。图7-4根轨迹的起始角规则六起始角与终止角

2026/6/830/597.2.2绘制根轨迹的基本规则根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。（2）终止角图7-5根轨迹的终止角

2026/6/831/597.2.2绘制根轨迹的基本规则规则七根轨迹与虚轴的交点及临界增益值根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。此时对应的增益为临界增益。令得即具体做法：实部方程虚部方程使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。的物理含义：这时，必有一根位于虚轴之上2026/6/832/597.2.2绘制根轨迹的基本规则以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚须注意以下几点规范画法。⑴根轨迹的起点(开环极点)用符号“

”标示；根轨迹的终点(开环零点)用符号“

”标示。⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。⑶要标出一些特殊点的值，其中直接标出的有起点(或)，终点()；根轨迹与实轴的交点即实轴上的分离点()；与虚轴的交点()。还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根轨迹增益，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析和设计。2026/6/833/597.2.2绘制根轨迹的基本规则例7-1

已知某单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制其根轨迹。

解：由规则一：根轨迹的分支数为3

由规则二：起点为0、-2、-3；终点为-1、无穷远。

由规则三：实轴上的根轨迹[-1，0]和[-3，-2]。由规则四：渐进线-20-1-32026/6/834/597.2.2绘制根轨迹的基本规则由规则五：分离点在[-3，-2]内。或因为图7-5根轨迹图解得(分离点)

(舍去)

-20-1-32026/6/835/597.2.2绘制根轨迹的基本规则例7-2

已知系统的开环传递函数为

试绘制该系统完整的根轨迹图。解：规则一：分支数为3规则二：规则三：规则四：2026/6/836/597.2.2绘制根轨迹的基本规则解：规则五图7-7例7-2的根轨迹图分离点规则六无起始角和终止角规则七令得虚部实部2026/6/837/597.2.2绘制根轨迹的基本规则例7-3

已知系统的开环传递函数为试绘制

该系统完整的根轨迹图。规则一规则二规则三规则四规则五规则六实轴上由-∞至-2的线段为实轴上的根轨迹2026/6/838/597.2.2绘制根轨迹的基本规则s0-1-2-3-4[s]1-1图7-7例7-3的根轨迹图2026/6/839/597.2.2绘制根轨迹的基本规则结论由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆(当开环极点为两个实极点时)或圆的一部分(当开环极点为一对共轭复数极点时)。2026/6/840/597.3用根轨迹分析控制系统的性能

自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在[s]平面上的分布有关。因此，确定控制系统闭环极点和零点在[s]平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。当作出控制系统的根轨迹后，就可以对系统进行定性的分析和定量的计算。

解决的方法1.解析法2.根轨迹法特点：对低阶系统比较精确，对高阶系统是很困难的。特点:图解方法。直观、完整地反映系统特征方程的根在[S]平面上分布的情况。2026/6/841/597.3.1确定具有指定阻尼比ξ的闭环极点和单位阶跃响应

根据指定的阻尼比ξ值，由根轨迹图的坐标原点作一与负实轴夹角为的射线。该射线与根轨迹的交点就是所求的一对闭环主导极点，由幅值条件确定这对极点所对应的值。然后用上述的方法，确定闭环系统的其他极点。下面以图7.17所示的系统为例来说明。例7-10

已知图7-17所示系统的开环传递函数为图7-17控制系统的方框图设系统闭环主导极点的阻尼比为：（1）系统的闭环极点和相应的根轨迹增益（2）在单位阶跃信号的作用下的输出响应。试求：

2026/6/842/597.3.1确定具有指定阻尼比ξ的闭环极点和单位阶跃响应

解：由图7-17可知

因为所以。根据幅值条件，求得相应的由于极点

距虚轴的距离是极点

距虚轴的7倍多，因而是系统的闭环主导极点。相应的闭环传递函数为绘制系统的根轨迹如图7-17所示。由图7-17可知，系统的一对闭环的两条射线上。显然，这两条射线与根轨迹的两条分支必然相交，交点

就是所求的一对闭环主导极点。

主导极点位于通过坐标原点且与负实轴组成夹角为2026/6/843/597.3.1确定具有指定阻尼比ξ的闭环极点和单位阶跃响应

图7-17例7-10根轨迹∞K*K*-1-20-3-0.423∞2026/6/844/597.3.1确定具有指定阻尼比ξ的闭环极点和单位阶跃响应

若令则式中，于是，上式改写为对上式进行拉氏反变换，求得

式中，等号右边第一项是输出的稳态分量，第二、三项是瞬态分量。基于第二项的幅值小、衰减速度快，因而它对系统的响应仅在起始阶段起作用，因而对系统响应起主导作用的是式中的第三项。2026/6/845/597.3.2指定时的闭环传递函数

控制系统的闭环零点由开环传递函数中的零点和的极点组成，它们一般为已知。系统的闭环极点与根轨迹的增益有关。如果已知，就可以沿着特定的根轨迹分支，根据根轨迹的幅值条件，用试探法求得相应的极点。试求时系统的闭环极点。

例7-9

已知系统的开环传递函数2026/6/846/59解：据此，如取作为实验点，由幅值条件求得相应的值为：由该系统的根轨迹图7.15可知，在分离点处，根据幅值条件，求得：该系统的闭环极点为一对共轭复根和一个实根，且由绘制根轨迹的规则可知，实根的最小值为-3。因此，实根位于-2～-3之间。当时，图7.15根轨迹图7.3.2指定时的闭环传递函数

2026/6/847/59显然。所求的值略大于指定值0.5。相应系统的闭环传递函数为：为此再取作试探，求得：这表示时，是闭环的一个极点。它的一对共轭复数极点可按下述的方法求取，因为时的闭环特征多项式为：用上式除以因式，求得商为：令：求得：7.3.2指定时的闭环传递函数

2026/6/848/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数控制系统可供选择的参数并不局限于开环增益K一个参数，有时还需要对其他的一些参数进行选择。例如，开环零点和极点的位置，时间常数或反馈系数等对系统性能的影响。绘制这类参数变化的根轨迹的方法与前面讨论的规则相同。

K2sXi(s)Xo(s)

例7.8

系统如图7.11所示。试选择参数和，使系统同时满足下列性能指标的要求。①当输入信号为斜坡输入时，系统的稳态误差③调整时间②闭环极点的阻尼比图7.11控制系统2026/6/849/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数解：系统的开环传递函数为：静态速度误差系数为：由题意得系统的误差：由上式可知，如要满足系统稳态误差的要求。必须取最大值必须取最小值2026/6/850/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数要求调整时间为：在[s]平面的左半平面上，过坐标原点作与负实轴成45°角的直线，在此直线上闭环极点的阻尼比ξ均为0.707。闭环极点实部的绝对值必须大于4/3。为了同时满足ξ和的要求，闭环极点应位于图7.12所示的阴影区域内，即ξ≥0.707。

图7.12在s平面上希望极点的区域2026/6/851/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数令设（7.34），则式（7.34）变为：或：

（7.35），则图7.11所示系统的特征方程式为：，2026/6/852/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数做以

为参变量的根轨迹，如图7.13所示。

为了满足静态性能要求，则取：

图7.13式（7.35）的根轨迹式（7.34）则改写为：（7.37）式中，开环传递函数的极点为：

开环传递函数的极点：2026/6/853/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数以

为参变量的根轨迹如图7.14所示。图7.14式（7.37）的根轨迹经过该图的坐标原点作一条与负实轴成45°角的直线，并与根轨迹相交于点由根轨迹的幅值条件，求出：即：由于所求闭环极点实部的绝对值，因而系统的调整时间为：2026/6/854/597.3.3根轨迹确定系统的有关参数在单位斜坡输入时，系统的稳态误差为：由此可知：能使系统达到预定的性能要求。当

2026/6/855/597.4利用MATLAB绘制系统根轨迹按根轨迹的绘制规则，理论上可绘制出系统的根轨迹图。但人工绘制根轨迹图非常麻烦与繁琐，费时费力，劳动强度大，又不易画准确，绘图过程中甚至要求解高次方程。在MATLAB中，系统专门提供了函数，能方便、简单、快捷的绘制