4-控制系统的频率特性

2026/6/81/72幅频对数坐标图若两个功率N1和N2满足等式lg（N2/N1）=1，则称N2比N1大1贝尔（Bell，简写B）（即N2是N1的10倍）。因为贝尔的单位太大，故常用分贝（dB），1B=10dB。4.3典型环节的对数坐标图相频对数坐标图2026/6/82/724.3典型环节的对数坐标图2026/6/83/724.3典型环节的对数坐标图对数相频特性传递函数（1）比例环节2026/6/84/724.3典型环节的对数坐标图传递函数相频特性、对数相频特性幅频特性：对数幅频特性：（2）积分环节2026/6/85/724.3典型环节的对数坐标图积分环节的Bode图对数幅频特性在Bobe图上是一条直线，并且：

ω=1，L(ω)=0;ω=10，L(ω)=－20dB特征点ω=1

斜率-20/十倍频程2026/6/86/724.3典型环节的对数坐标图传递函数：相频特性、对数相频特性幅频特性、对数幅频特性（3）微分环节2026/6/87/724.3典型环节的对数坐标图微分环节的Bode图

对数幅频特性曲线在Bobe图上是一条直线，并且

ω=1，L(ω)=0;ω=10，L(ω)=20dB（3）微分环节2026/6/88/724.3典型环节的对数坐标图转角频率（4）惯性环节惯性环节的频率特性为：幅频特性：相频特性：2026/6/89/724.3典型环节的对数坐标图（4）惯性环节惯性环节的对数坐标图2026/6/810/724.3典型环节的对数坐标图（5）一阶微分环节频率特性为：幅频和相频特性：2026/6/811/724.3典型环节的对数坐标图转角频率：渐近线相交点。一阶微分环节的对数坐标图（5）一阶微分环节2026/6/812/724.3典型环节的对数坐标图（6）振荡环节频率特性为：2026/6/813/724.3典型环节的对数坐标图振荡环节的对数坐标图2026/6/814/724.3典型环节的对数坐标图振荡环节的Bode图2026/6/815/724.3典型环节的对数坐标图传递函数频率特性（7）二阶微分环节若令对数幅频特性对数相频特性2026/6/816/724.3典型环节的对数坐标图（7）二阶微分环节2026/6/817/724.3典型环节的对数坐标图幅频特性和相频特性

（8）延时环节传递函数频率特性2026/6/818/724.3典型环节的对数坐标图典型环节的对数幅频特性和相频特性坐标图，如右图所示。⑥2026/6/819/724.3典型环节的对数坐标图环节传递函数斜率(dB/dec)特殊点φ(ω)常用典型环节伯德图特征表

s2+2ωnζωns+ωn221+Ts0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKL(ω)=0ω=1,T1ω=转折频率转折频率转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例积分重积分惯性比例微分振荡00，-20-20-400，200，-40T1ω=2026/6/820/724.3典型环节的对数坐标图6.修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；绘制系统对数坐标图的一般步骤如下：

2.确定各环节的转角频率；

3.分别画出各典型环节的对数幅频特性的渐近线；

4.将各个环节的对数幅频特性曲线的渐近线进行叠加（不包括系统总的增益K）；

5.将叠加后的曲线垂直移动，得到系统的对数幅频特性；

1.由传递函数求出频率特性，并将转化为若干个标准形式的典型环节频率特性相乘的形式；7.画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。2026/6/821/724.3典型环节的对数坐标图例4.3已知某系统的传递函数为画其Bode图。解：

1)为了避免绘图时出现错误，应把传递函数化为标准形式（惯性、一阶微分、振荡和二阶微分环节的常数项均为1），得：

上式表明，系统由一个比例环节(K=3亦为系统总增益)、一个导前环节、二个惯性环节串联组成。2026/6/822/724.3典型环节的对数坐标图2)系统的频率特性为

3)求各环节的转角频率ωT惯性环节惯性环节导前环节2026/6/823/724.3典型环节的对数坐标图(4)做各环节的对数幅频特性渐近线，如图4.22所示。(5)对渐近线用误差修正曲线修正（本题省略这一步)。(7)将a’

向上移动9.5dB（等于20lg3，是系统总增益的分贝数），得系统对数幅频特性a。(6)除比例环节外，将各环节的对数幅频特性进行叠加，得到折线a’。(8)做各环节的对数相频特性曲线，叠加后得系统的对数相频特性，如图4.24所示。2026/6/824/724.3典型环节的对数坐标图图4.22例4.3题的对数坐标图2026/6/825/724.3典型环节的对数坐标图例4-4

已知系统的传递函数为试绘制系统的伯德图。解：（1）系统的频率特性为：

对数幅频特性

对数相频特性

（2）各环节的转角频率

惯性环节的转折频率惯性环节的转折频率

2026/6/826/724.3典型环节的对数坐标图图4-23控制系统的Bode图BCDEFHI2026/6/827/724.3典型环节的对数坐标图例4-5设某单位负反馈系统的总传递函数为：[解]将G(s)化为标准的典型环节之积形式写出各环节的L(ω)和φ(ω)试绘制对数幅频特性的概略曲线。

2026/6/828/540.10.212102010020db40db-20db--40dbL(ω)ω0db画出各环节—幅频Bode图[20][-20][-20][-40][注意]

Li

是连续的（没有断点、跳变等），所以叠加后的L是连续的。①比例+积分环节的叠加起作用，其它均为零。②斜率为[-20]①与上一段连接②斜率为[-20]+[-20]=[-40]①与上一段连接②斜率为[-20]（多了一个[20]）①与上一段连接②斜率为[-60]（多了一个[-40]）[-20][-40][-20][-60]2026/6/829/720.10.212102010020db40db-20db--40dbL(ω)ω0db三个转折点（小→大）：起始段由决定[-20×ν][-20]惯性起作用[-40]一阶微分起作用[-20]振荡起作用[-60]

2026/6/830/720.10.212102010090°180°-90°-180°ω0°三个转折点（小→大）：比例：

积分惯性：一阶微分：振荡：

2026/6/831/724.3典型环节的对数坐标图若系统的频率特性为

（2）在各环节的转角频率处，对数幅频渐近线的斜率发生变化，其变化量等于相应的典型环节在其转角频率斜率的变化量（即其高频渐近线的斜率）。

（1）系统在低频段的频率特性为,因此,其对应的对数幅频特性在低频段表现为过点,斜率为的直线。系统的对数坐标图具有如下特点:2026/6/832/724.3典型环节的对数坐标图用伯德图表示频率特性的优点：（1）可以将串联环节幅值的相乘、除，化为幅值的相加、减，使得计算和作图过程简化。（2）提供了绘制近似对数幅频曲线的简便方法。先分段，用直线做出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，即可得到较准确的对数幅频特性图。（3）因为在实际系统中，低频特性最为重要，所以通过对频率采用对数尺度，以扩展低频范围是很有利的。

（4）当频率响应数据以伯德图的形式表示时，可以容易地通过实验确定传递函数。

2026/6/833/724.4系统频率特性的实验确定方法在难于用解析法根据定理和公式去建立系统的传递函数或频率特性时，实验法更显示出其重要性。

频率特性是线性系统（环节）在特定情况(输入正弦信号)下的传递函数，故由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。反过来，由频率特性也可求得相应的传递函数。最小相位系统的幅频特性和相频特性是一一对应的，一条对数幅频特性曲线只有一条对数相频特性曲线与之对应。因而利用伯德图对最小相位系统写出传递函数，进行分析以及综合校正时，往往只需作出对数幅频特性曲线就可以。用实验方法确定系统的频率特性，从而估计和识别控制系统及其各组成环节的传递函数与参数，这是频率响应分析法的主要优点之一。2026/6/834/724.4系统频率特性的实验确定方法4.4.1频率特性的实验分析法

通过函数发生器对其输入一个正弦信号用频率特性测试仪记录下系统反馈信号的稳态响应在所需的频率范围内，逐渐改变输入频率测量出该控制系统的幅频特性测量出该控制系统的相频特性根据所测得的数据绘出控制系统的极坐标图或对数坐标图。2026/6/835/724.4系统频率特性的实验确定方法4.4.2用实验的对数坐标图确定系统的频率特性主要步骤如下：⑴在实验获得的伯德图上确定对数幅频特性的渐近线。用斜线逼近实验曲线；⑵根据低频段渐近线的斜率，确定系统包含的积分环节的数目，根据渐近线或其延长线在rad／s处的分贝值，确定系统增益。⑶根据渐近对数幅频特性的逼近原则，在低频段，除了积分环节和比例环节外，其他各典型环节的影响都近似为零。⑷根据渐近线对数幅频曲线在转角频率之后斜率的变化，确定对应的环节。⑸将上述分析中确定的环节串联后即可得到系统的频率特性或传递函数。⑹根据实验测得的相频特性曲线校验获得的频率特性或传递函数。2026/6/836/724.4系统频率特性的实验确定方法例4-6

已知最小相位系统对数幅频特性如图4-26所示。图中虚线为修正后的精确曲线，试确定控制系统的传递函数。

图4-26例4-6最小相位系统的对数幅频特性2026/6/837/724.4系统频率特性的实验确定方法解：（1）起始段的斜率为，说明传递函数中包含一个积分环节，即。时，纵坐标为。则

即（2）在频段上，斜率由改变为，说明系统传递函数中包含一阶微分环节，由于转折频率为，则即2026/6/838/724.4系统频率特性的实验确定方法（3）在时，的斜率由改变为，可知系统中包含一个转折频率为的振荡环节，即（4）由修正曲线可确定值故对应的最小相位系统的传递函数为即2026/6/839/724.4系统频率特性的实验确定方法例：设系统对数幅频分段直线近似表示如图所示求系统的传递函数。[解]写出传递函数的标准形式？？？？由图可知

2026/6/840/724.4系统频率特性的实验确定方法？叠加

2026/6/841/724.5闭环频域特性及频率性能指标

频率响应法是通过系统频率特性的一些特征量间接地表征控制系统的瞬态响应性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。

常用的频域性能指标包括有开环频率特性中的相位裕量、幅值裕度、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等。

这些指标虽然没有时域性能那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统也有近似的关系。

在时域分析中，控制系统有静态性能指标和动态性能指标两种。

2026/6/842/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.1闭环频率特性

传递函数为=1，则系统闭环频率特性为：

令

2026/6/843/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.1闭环频率特性

令

则

式中

2026/6/844/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如下图所示。图

二阶单位负反馈系统的方框图2026/6/845/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标图示系统的闭环传递函数为：

2026/6/846/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标图示系统的闭环传递函数和闭环频率响应分别为：

式中：

2026/6/847/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标二阶系统的闭环频率响应曲线如下图所示。

系统的闭环频率特性2026/6/848/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标在左图中，闭环幅频特性曲线的特征量有：零频值、谐振峰值和截止频率等。零频值是频率为零时的频率特性幅值，反映了系统的稳态特性。谐振峰值是幅频特性的最大值，它反映了系统阻尼的大小。截止频率是指幅频特性的幅值下降到零频值的0.707时的频率。从零到截止频率的频率区间称为系统的频带宽度，简称带宽。带宽大，系统响应的快速性越好，上升时间和调节时间短。但是带宽大，容易引起高频干扰。2026/6/849/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标

在二阶系统中，截止频率和谐振峰值与系统的时域指标有确定的关系。2026/6/850/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

在这时，有下式成立。

2026/6/851/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

为了使系统准确地跟踪任意的输入，带宽大好；而从抑制噪声考虑，带宽又不能太大。因此，对带宽的要求是有矛盾的，设计中应根据具体情况折衷考虑。2026/6/852/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）对于一阶系统和二阶，带宽和系统参数具有解析关系。设一阶系统的闭环传递函数为。

由上式，可求得带宽：

2026/6/853/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

2026/6/854/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

设二阶欠阻尼系统的闭环传递函数为

则系统的幅频特性为

2026/6/855/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

所以有

因而有

2026/6/856/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

2026/6/857/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

2026/6/858/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标1）系统的频带宽度（带宽）

其关系如下图所示。

2026/6/859/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标

图示的二阶系统的频率特性为：

或者：

因此，有下式成立。

2026/6/860/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标

二阶系统的相位裕度为：

2026/6/861/724.5.2频域指标和二阶系统的过渡过程指标

2026/6/862/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.3高阶系统的过渡过程指标

系统的时域响应和频域响应之间存在一定的数学关系，用傅里叶积分式表示为：

对于高阶系统，进行上述的变换十分困难。实际上经常应用一些近似估计方法进行估算。2026/6/863/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.3高阶系统的过渡过程指标

高阶系统的典型闭环幅频特性曲线如下图所示。在实际工程中，常用以下的频率指标表征系统的性能。高阶系统的典型闭环幅频特性曲线2026/6/864/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.3高阶系统的过渡过程指标

2026/6/865/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.3高阶系统的过渡过程指标

2026/6/866/724.5闭环频域特性及频率性能指标

4.5.3高阶系统的过渡过程指标

当带宽愈大时，暂态响应速度愈快。2026/6/867/724.5.3高阶系统的过渡过程指