3-控制系统的时域分析

2026/6/81/61第3章控制系统的时域分析3.1时间响应与典型输入信号3.2一阶系统的时间响应3.3二阶系统的时间响应3.4高阶系统的时间响应3.5计算机辅助时域分析2026/6/82/613.3二阶系统的时间响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。为阻尼比；为无阻尼自振角频率

3.3.1二阶系统的数学模型

形式一：

形式二：式中：

2026/6/83/613.3二阶系统的时间响应典型二阶系统的传递函数2026/6/84/613.3二阶系统的时间响应二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比的不同取值，特征根S1,S2有不同类型的值，或者说闭环极点S1,S2在[S]平面上有不同的分布规律。根据这些极点的分布情况，二阶系统分类如下：根据不同，二阶系统有以下四种工作状态：（一）欠阻尼二阶系统(0<<1)

（二）无阻尼二阶系统(=0)

（三）临界阻尼二阶系统(=1)（四）过阻尼二阶系统(>1）

2026/6/85/613.3二阶系统的时间响应[s]平面上二阶系统的闭环极点分布欠阻尼二阶系统特征根在[s]平面的左半平面。系统的阶跃响应表现为欠阻尼。0（1）其传递函数为：

2026/6/86/613.3二阶系统的时间响应无阻尼二阶系统特征根的分布0(2)特征根在[s]平面的虚轴上，使得系统的阶跃响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。其传递函数为：

2026/6/87/613.3二阶系统的时间响应

临界阻尼二阶系统特征根的分布图0(3)特征根在[s]平面的负实轴上，使得系统的阶跃响应表现为临界阻尼。其传递函数为：

2026/6/88/613.3二阶系统的时间响应0(4)特征根在[s]平面的负实轴上，使得系统的阶跃响应表现为过阻尼。

过阻尼二阶系统特征根的分布图其传递函数为：

2026/6/89/613.3二阶系统的时间响应3.3.1二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应函数为二阶系统的单位脉冲响应函数可分为下面四种情况：有阻尼固有频率:(1)当0<ξ<1，系统为欠阻尼系统时2026/6/810/613.3二阶系统的时间响应(2)当ξ=0，系统为无阻尼系统时(3)当ξ=1

，系统为临界阻尼系统时(4)当ξ>1

，系统为过阻尼系统时（为两个正根）3.3.1二阶系统的单位脉冲响应

2026/6/811/613.3二阶系统的时间响应无阻尼响应为等幅振荡，没有调节作用；过阻尼和临界阻尼响应是单调衰减的，其瞬时值不改变符号，即不存在超调现象；欠阻尼响应是稳态值为零的有阻尼衰减过程，合理调整系统的结构参数，可以使之具有良好的动态特性。二阶系统单位脉冲响应2026/6/812/613.3二阶系统的时间响应3.3.2二阶系统的单位阶跃响应输入信号为单位阶跃函数：输出的拉氏变换：2026/6/813/613.3二阶系统的时间响应3.3.2二阶系统的单位阶跃响应⑴欠阻尼（）的情况特点：1.以为角频率衰减振荡；

2.随着的减小，振荡幅度加大。2026/6/814/613.3二阶系统的时间响应3.3.2二阶系统的单位阶跃响应特点：无阻尼等幅振荡。

2026/6/815/613.3二阶系统的时间响应3.3.2二阶系统的单位阶跃响应系统的临界阻尼响应是一条单调上升的指数曲线。没有超调量，经过调节时间的动态过程，系统进入稳态，其稳态分量等于系统的输入量，稳态误差为零。

2026/6/816/613.3二阶系统的时间响应3.3.2二阶系统的单位阶跃响应特点：无超调，过渡时间长。

2026/6/817/613.3二阶系统的时间响应3.3.2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应2026/6/818/613.3二阶系统的时间响应3.3.3二阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入输入的像函数为：

则：

2026/6/819/613.3二阶系统的时间响应3.3.3二阶系统的单位斜坡响应当t→∞时，输入与输出间的偏差为当输入函数为单位斜坡函数时，即：2026/6/820/613.3二阶系统的时间响应3.3.3二阶系统的单位斜坡响应当t→∞时，输入与输出间的偏差为二阶临界阻尼系统斜坡响应2026/6/821/613.3二阶系统的时间响应3.3.3二阶系统的单位斜坡响应当t→∞时，输入与输出间的偏差为二阶过阻尼系统

2026/6/822/613.3二阶系统的时间响应3.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标

时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。2026/6/823/613.3二阶系统的时间响应3.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（1）上升时间

响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。或从稳态值的10%上升到稳态值的90％所需的时间。2026/6/824/613.3二阶系统的时间响应3.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（1）上升时间

由于欠阻尼状态下的时间响应有振荡，定义从零开始第一次达到稳态值所需的时间。当时,其中2026/6/825/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标由于，所以从上式可得

当阻尼比不变时，也不变，增大无阻尼自然频率，将使上升时间缩短；而当阻尼振荡频率不变时，阻尼比越小，上升时间也越短。

于是上升时间

（1）上升时间2026/6/826/613.3二阶系统的时间响应3.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（2）峰值时间响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。2026/6/827/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（2）峰值时间

根据定义，为求峰值时间，将式对时间t求导，令其导数为零。即有2026/6/828/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（2）峰值时间

因为则有由定义，取系统最大的峰值出现在处，因而得上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。当阻尼比不变时，闭环极点距离虚轴(或坐标原点)越远，系统的峰值时间越短。化简上式，求得2026/6/829/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（3）最大超调量

响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。2026/6/830/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（3）最大超调量最大超调量发生在峰值时间即与的关系曲线2026/6/831/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（4）调整时间响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。允许误差±5％2026/6/832/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（4）调整时间在过渡过程中，x(t)取的值满足下面不等式时所需的时间定义为调节时间ts

。式中，Δ是指定的微小量，一般取Δ0.02~

0.05，上式表明，在t=ts之后，系统的输出不会超过下述范围：又因为所以将时间响应计算式代入上式中，得2026/6/833/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（4）调整时间可以看出，系统单位阶跃响应的瞬态分量为一幅值按指数衰减的正弦振荡曲线，当它衰减到Δ值的时间可近似地视为是系统的调整时间tS，据此得也即2026/6/834/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（4）调整时间欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线特性及包络线求得瞬态响应曲线2026/6/835/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（4）调整时间如取Δ=0.05,则如取Δ=0.02,则当较小,0<<0.7时，可分别将上述1式和2式近似取为：

2026/6/836/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（5）延迟时间响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。2026/6/837/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标（6）振荡次数在调整时间内响应曲线振荡的次数。

允许误差±5％2026/6/838/613.3.4二阶系统的瞬态响应性能指标

调节时间tS与闭环极点的实部的绝对值成反比。实部的绝对值越大，即极点距离虚轴越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。

综合上述各项动态性能指标的计算公式，可以看出，各指标之间是有矛盾的。小的值固然能使上升时间和峰值时间减小，但却导致较大的超调量和调节时间，反之亦然。因此，在实际系统的设计过程中，系统参数的选择应当在各项指标间进行折中考虑。2026/6/839/613.3二阶系统的时间响应例3-1二阶系统计算举例2026/6/840/613.3二阶系统的时间响应2026/6/841/613.3二阶系统的时间响应(3)求c:根据得2026/6/842/613.3二阶系统的时间响应例3-2

已知控制系统的结构框图如图3-3。试计算当参数K＝14时，系统单位阶跃响应的各项性能指标。若参数

K增大到K＝28或减小到K＝2时，系统的性能指标将有何变化？

图3-12控制系统结构图2026/6/843/613.3二阶系统的时间响应解：传递函数把的数值代入各项性能指标的计算公式，分别求得各项性能指标为(1)当K=14时，代入得：2026/6/844/613.3二阶系统的时间响应2026/6/845/613.3二阶系统的时间响应(2)当K=28时，按照同样的方法可算出2026/6/846/613.3二阶系统的时间响应(3)若k减小到2时，可算出此时的特征参量为：

系统已变成过阻尼二阶系统，峰值时间和超调量均无意义，响应速度却慢得多，过渡过程过于缓慢，这是实际系统所不希望的。

从上例也可以看出，系统性能指标之间存在着矛盾。系统参数的选择必须在相对稳定性和快速性之间进行折中考虑。可见，K增大将使减小而ωn增大，但与ωn的乘积不变。故Mp增大tr和tp减小，调节时间ts近似保持不变。2026/6/847/613.4高阶系统的时间响应那么，系统的特征方程为：设高阶系统的动力学方程一般表达式为：在零初始状态时，对上式进行拉氏变换得到高阶系统的传递函数为：2026/6/848/613.4高阶系统的时间响应设特征方程有个特征根，令系统所有的根互不相同，有实数根和对共轭虚根，则。因此，特征方程能分解为个一次因式：因此，特征方程能分解为个一次因式：个二次因式：即，系统的传递函数有个实极点和对共轭复数极点。

2026/6/849/613.4高阶系统的时间响应则系统在单位阶跃输入信号的作用下，输出为：假设系统传递函数的个零点为，则系统的传递函数可写为：2026/6/850/613.4高阶系统的时间响应对上式按部分分式展开，得：对上式求拉氏反变换，得：式中：

2026/6/851/613.4高阶系统的时间响应（1）高阶系统时间响应的瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数所组成。其中输入信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数的极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。（2）系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质所决定，而系统调整时间的长短与闭环极点的负实部绝对值的大小有关。如果闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量就衰减得快，系统的调整时间也就越短。而闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号。高阶系统的特点：

2026/6/852/613.4高阶系统的时间响应（3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很远，且离零点也较远，即有：式中，均为正值在这种情况下（一般存在n>m），极点所对应的瞬态分量不仅持续时间短，而且其相应的幅值亦较小，因而由它产生的瞬态分量可忽略不计。

式中：，则极点

对应的瞬态分量的幅值很小，因而它在系统响应中所占的百分比很小，可忽略不计。如果闭环传递函数中某一极点

与某一零点-十分靠近，即有2026/6/853/613.4高阶系统的时间响应（4）如果所有闭环的极点均具有负实根，则由高阶系统的时间响应计算式可知，式中所有的瞬态分量就不断地衰减，最后该式的右方只剩下由控制信号的极点所确定的稳态分量A0项。它表示在过渡过程结束后，系统的被控制量仅与其控制量有关。（5）如果系统中有一极点（或一对复数极点）距虚轴最近，且其附近没有闭环零点，而其它的闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初始幅值也大，充分体现了它在系统响应中的主导作用，故称其为系统的主导极点。高阶系统的主导极点通常为一对复数极点。利用主导极点的概念，可将主导极点为共轭复数极点的高阶系统，降阶近似作二阶系统来处理。2026/6/854/613.5计算机辅助时域分析输入以下MATLAB命令：%L0403.mt=[0:0.1:10];num=[1];den=[2,1,0];y=step(num,den,t);plot(t,y);xlabel('t');ylabel('y');title('单位斜坡响应')其响应输出结果如图4-4-8所示。图单位斜坡响应例3-3传递函数为，求其单位斜坡响应。解：对单位斜坡输入有2026/6/855/613.5计算机辅助时域分析

在许多情况下，需要求取在任意已知函数作用下系统的响应，在MATLAB中可用lsim()函数实现，其调用格式为：仿真时间系统输入信号输入信号输出响应2026/6/856/613.5计算机辅助时域分析Impulse：计算连续系统的单位脉冲响应调用格式：Step(num，den，t)Pzmap：在复平面内绘制出系统的零极点图Step：计算连续系统的单位阶跃响应Roots：计算多项式的根Lsim：计算连续系统的任意输入响应调用格式：Impulse(num，den，t）调用格式：Pzmap(num，den)调用格式：Roots(den)调用格式：Lsim(num，den，u，t)仿真时间可以省略

2026/6/857/613.5计算机辅助时域分析例3-4已知系统的传递函数方框图与输入信号分别如图3-15和图3-16所示。图3-15传递函数方框图解：图3-16

输入信号2026/6/858/613.5计算机辅助时域分析%L0404.mnumg=[1];deng=[2,1];[num,den]=cloop(numg,deng,-1);v1=[0:0.1:2];v2=[1.9:-0.1:-2]v3=[-1.9:0.1:0]t=[0:0.1:8];u=[v1,v2,v3];[y,x]=lsim(num,den,u,t);plot(t,y,t,u);xlabel('t');ylabel('y');title('系统在三角波函数作用下的响应')其响应输出结果如图3-17所示。图3-17系统在三角波函数作用下的响应2026/6/859/613.5计算机辅助时域分析例已知系