3-控制系统的时域分析

2026/6/81/28第3章控制系统的时域分析3.1时间响应与典型输入信号3.2一阶系统的时间响应3.3二阶系统的时间响应3.4高阶系统的时间响应3.5计算机辅助时域分析2026/6/82/28第3章控制系统的时域分析为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，然后可用各种不同的方法对其进行分析研究。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法，根轨迹法和频率响应法。本章仅讨论控制系统的时域分析。

时域分析法是一种直接分析法，它是根据所描述系统的微分方程或传递函数，求出系统的输出量随时间的变化规律，并由此来确定系统的性能。时间响应：动态系统相应于输入的输出。一个稳定的控制系统，对输入信号的时间响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。2026/6/83/283.1时间响应与典型输入信号3.1.1时间响应及其组成时间响应(时域响应)：控制系统在外加力作用(输入)激励下，其输出量随时间变化的函数关系。线性定常系统可用微分方程来描述，系统时域响应的数学表达式就是微分方程的解。系统受到外加作用力激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应。任一稳定系统的时域响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。2026/6/84/283.1时间响应与典型输入信号3.1.1时间响应及其组成按振动信号的性质可分为：时域响应的组成零状态响应按振动信号的来源可分为：自由振动响应强迫振动响应控制工程所要研究的响应往往是零状态响应。零输入响应2026/6/85/283.1时间响应与典型输入信号3.1.1时间响应及其组成当t>t1时，系统趋于稳定。

0到t1时间内的响应过程称为瞬态响应,反映了系统动态性能。

单位阶跃信号作用下的时域响应当t→∞时，若c(t)趋于稳态值，则系统是稳定。当t→∞时，若c(t)呈等幅振荡或发散，则系统是不稳定。稳态响应偏离系统期望值的程度可用来衡量系统的精确程度。2026/6/86/283.1.2典型输入信号在控制工程中常用的输入信号有以下几种：

1.阶跃信号2.斜坡信号3.加速度信号4.脉冲信号

5.正弦信号

典型信号的选择，应满足以下条件：

（1）信号的数学表达式简单，便于数学上分析和处理。

（2）这些信号易于在实验室中获得。

控制系统的动态性能是通过某典型输入信号作用下系统的瞬态响应过程来评价的。系统的瞬态响应过程既取决于系统本身的结构和参数，又与其外施信号的形式有关。2026/6/87/283.1.2典型输入信号数学表达式：示意图：如果系统的输入信号是突变的量，则应取阶跃信号为宜。1.阶跃信号2026/6/88/283.1.2典型输入信号数学表达式：示意图：2.斜坡信号

如果系统的输入信号是随时间线性增长的函数，则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况。2026/6/89/283.1.2典型输入信号3.加速度信号数学表达式：示意图：2026/6/810/283.1.2典型输入信号4.脉冲信号数学表达式：示意图：

如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然选脉冲函数最为合适。2026/6/811/284.脉冲信号

当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于δ函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。

当系统输入任一时间函数时，如下图所示，可将输入信号分割为n个脉冲。当

时，输入函数

可看成n

个脉冲叠加而成。按比例和时间平移的方法，可得时刻的响应为：2026/6/812/283.1.2典型输入信号4.脉冲信号

输出响应为输入函数与脉冲响应函数的卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。所以2026/6/813/283.1.2典型输入信号5.正弦信号数学表达式：示意图：2026/6/814/283.1.3瞬态响应的性能指标

控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。

工程上，阶跃信号最容易实现，又反映了许多实际信号的形式，且更抽象、更严格。故通常以阶跃响应来衡量系统性能的优劣，并定义时域性能指标。系统的单位阶跃响应曲线如次页图所示。性能指标：动态性能指标稳态性能指标2026/6/8152/63.1.3瞬态响应的性能指标延滞时间上升时间峰值时间调节时间最大超调量2026/6/816/283.1.3瞬态响应的性能指标２.上升时间

——单位阶跃响应曲线从其稳态值的10%上升到90%所需时间；对于有振荡的系统，可定义为响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。３.峰值时间——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。１．延滞时间

——单位阶跃响应曲线到达其稳态值50%所需的时间。４.调节时间——响应到达并从此不再超出稳态值5%(或2%）误差带所需要的最小时间。2026/6/817283.1.3瞬态响应的性能指标５．最大超调量——在系统响应的过渡过程中超出稳态值的最大偏差与稳态值之比，即

6.稳态误差——对于单位负反馈系统，当时间无穷大时，系统响应的实际值（稳态值）与希望值之差，定义为稳态误差．2026/6/818/283.1.3瞬态响应的性能指标总结：1.延滞时间、上升时间、峰值时间、调节时间反映系统动响应的快速性。2.稳态误差反映了系统，复现输入信号的精度。3.最大超调量表征了系统的相对稳定性。2026/6/819/283.2一阶系统的时间响应

可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其响应为一阶系统的响应，其传递函数为：（T是一阶系统的时间常数）kfRC(a)(b)机械和电路构成的一阶系统的实例2026/6/820/283.2一阶系统的时间响应图所示为一阶系统的方框图，它的传递函数为:

下面就不同的典型输入信号，分析该系统的时间响应。设系统的初始工作条件为零。Xi(s)X0(s)(a)

单位反馈的一阶系统(b)一阶系统Xi(s)X0(s)2026/6/821/283.2一阶系统的时间响应3.2.2一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃函数时间响应一阶系统单位阶跃响应图2026/6/822/283.2一阶系统的时间响应3.2.2一阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃响应是一单调上升的指数响应曲线，可以用时间常数T度量系统响应在各个时刻上的数值。特点：(1)稳定，无振荡；(2)经过时间T曲线上升到0.632的高度；(3)调整时间为(3～4)T；(4)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T

2026/6/823/283.2一阶系统的时间响应3.2.3一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入象函数为则进行拉氏反变换2026/6/824283.2一阶系统的时间响应

一般把时间4T称为系统的过渡过程。T称为一阶系统的时间常数。

为了得到较高的测试精度，希望脉冲信号的宽度h比系统的时间常数T足够小，一般要求h<0.1T。一阶系统对于脉冲扰动信号具有自动调节能力，经过一段时间之后，可以使得脉冲扰动对于系统的影响衰减到允许的误差之内。根据给出的误差带宽度可以求出其调节时间。2026/6/825/283.2一阶系统的时间响应单位斜坡输入象函数为则进行拉氏反变换3.2.4一阶系统的单位斜坡响应2026/6/826/283.2一阶系统的时间响应3.2.4一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间滞后T的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好等于时间常数T,一阶系统的单位斜坡响应的瞬态分量为指数衰减项，随时间的增加而逐渐衰减为零。2026/6/827/283.2一阶系统的时间响应一阶系统的瞬态响应的关系：三者的关系？1.单位斜坡响应2.单位阶跃响应3.单位脉冲响应2026/6/828/283.2一阶系统的时间响应特点：

有如下关系存在，单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数，