2-控制系统的数学模型

2026/6/81/622.4传递函数2.4.1传递函数的定义传递函数数学模型的一般形式为（在零初始条件下）2026/6/82/622.4.1传递函数的定义

传递函数的概念和定义

传递函数

在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

零初始条件：

t<0时，输入量及其各阶导数均为0；

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0；2026/6/83/622.4.1传递函数的定义传递函数具有以下特点：(1)传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。(2)传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同的物理系统可能具有相同的传递函数。(3)传递函数比微分方程简单，通过拉氏变换将时域内复杂的微积分运算转化为简单的代数运算；(4)当系统输入典型信号时，输出与输入有对应关系。特别地，当输入是单位脉冲信号时，传递函数就表示系统的输出函数。因而，也可以把传递函数看成单位脉冲响应的像函数；(5)如果将传递函数进行代换s=jω，可以直接得到系统的频率特性函数(详见第3章)。2026/6/84/622.4.1传递函数的定义

由于传递函数是经过拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念仅适用于线性定常系统；传递函数是在零初始条件下定义的，因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，因此只适用于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。需要特别指出的是：2026/6/85/622.4.2典型环节的传递函数2026/6/86/622.4.2典型环节的传递函数(1)比例环节例2-12

齿轮传动的原理图如图所示。以转速nr为输入量，转速n0为输出量，便是一个放大环节。

解：因为当忽略齿轮的啮合间隙时，主动轮与从动轮转速间有如下关系：在零初始条件下，进行拉氏变换，便得传递函数齿轮传动比，也就是齿轮传动副的放大系数或增益。

2026/6/87/622.4.2典型环节的传递函数(1)比例环节-+例2-13

图所示为运算放大器，其输出电压u0(t)与输入电压ui(t)之间有如下关系:2026/6/88/622.4.2典型环节的传递函数(2)惯性环节含有储能元件，突变形式的输入信号，不能被立即输送出去。惯性环节的特点是其输出量延缓地反映输入量的变化规律。它的微分方程为：对应的传递函数为放大系数惯性环节时间常数2026/6/89/62(2)惯性环节略去质量的阻尼—弹簧系统

例2-14如图2-17所示的质量一阻尼一弹簧系统，当其质量相对很小，可以忽略不计时，由达朗贝尔原理可知：其数学模型为：经拉普拉斯变换，求得其传递函数为2026/6/810/62(2)惯性环节例2-15

图2-18所示的RC电路,ui为输入电压,电压

u0为输出。解：根据克希荷夫定律列写微分方程本系统之所以成为惯性环节，是由于含有容性储能元件和阻性耗能元件。图2-18低通滤波电路拉普拉斯变换后消元，得

2026/6/811/622.4.2典型环节的传递函数(3)微分环节理想的微分环节的输出量正比于输入量对时间的微分，即有其传递函数为微分环节的时间常数2026/6/812/62(3)微分环节例2-17如图2-20所示为一直流发电机，当励磁电压等于常数时，取输入量为转子转角，输出量为电枢电压。

理想的微分环节，输出反映输入的微分。也就是说，输出量与输入量的变化率成正比。它激直流发电机原理图

直流发电机的电枢电压

与转子的转速成正比：取拉氏变换，得其传递函数为：2026/6/813/62(3)微分环节例2-16如图2-19所示为机械—液压阻尼器的原理图。

解：液压缸的力平衡方程为传递函数为

为惯性微分环节。当Ts<<0时，为微分环节。图2-19机械—液压阻尼器通过节流阀的流量为2026/6/814/622.4.2典型环节的传递函数(4)积分环节积分环节的输出量正比于输入量对时间的积分，即有其传递函数为积分时间常数输出量随着时间的增长而直线增加，增长斜率为1/T

，积分作用的强弱由积分时间常数T决定,T越小，积分作用越强。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。2026/6/815/62(4)积分环节例2-18如图2-22所示为一齿条传动机构。

2026/6/816/62(4)积分环节例2-19图2-23所示为电枢控制式小功率电动机。略去电枢绕组中的电阻和电感的影响，在无负载条件下，电动机转速和输入电压之间近似有：图2-23电枢控制式小功率电动机取拉氏变换后，其传递函数为2026/6/817/62(5)振荡环节

振荡环节是二阶环节，它含有两个储能元件，在运动的过程中能量相互转换，使环节的输出带有振荡的特性。微分方程具有如下形式：其传递函数为或时间常数无阻尼固有频率阻尼比2026/6/818/62(5)振荡环节质量-阻尼-弹簧系统2026/6/819/62(5)振荡环节振荡电路2026/6/820/62(5)振荡环节2026/6/821/62(6)延时环节延迟环节的特点是输出量在时间上滞后输入量时间τ，但不失真地反映了输入量，如图所示。微分方程为：延时时间图延迟环节1010传递函数为控制系统中，单纯的延时环节是很少的，延迟环节往往与其它环节一起出现。大多数过程控制系统中，都具有延迟环节。

2026/6/822/62(6)延时环节例2-22图2-27所示为轧制钢板的厚度控制装置，带钢在A点轧出时，厚度为；但是这一厚度在到达B点时才为测厚检测仪所检测到，检测到的厚度为。

图2-27轧制钢板的厚度测量解：输出量与输入量之间有如下关系：取拉氏变换，得传递函数为：2026/6/823/622.5系统的方框图和信号流图对于复杂的系统，如果仍采用由微分方程经过拉氏变换，消除中间变量，进而求得系统的传递函数。这不仅在计算上繁琐，而且在消除中间变量之后，总的表达式中只剩下输入输出变量，信号在通道中的传递过程全然得不到反映。而采用方框图，既便于求取复杂系统的传递函数，同时又能直观地看到输入信号及中间变量在通道中传递的全过程。因此，方框图作为一种数学模型，在控制理论中得到了广泛的应用。2026/6/824/622.5系统的方框图和信号流图2.5.1系统方框图的组成

方框图又称动态结构图，简称结构图。是将各环节的传递函数G(s)写在方框内，并以箭头标明信号的流向，以此描述系统的动态结构。它是一个图形化的分析、运算方法，也是数学模型的图解化方法。

函数方框是传递函数的图解表示。图中，指向方框的箭头表示输入的拉氏变换；离开方框的箭头表示输出的拉氏变换；方框中表示的是该输入输出之间的环节的传递函数。（1）函数方框2026/6/825/622.5系统的方框图和信号流图2.5.1系统方框图的组成

（2）信号传递线

信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号，指向方框的箭头表示输入，从方框出来的箭头表示输出。

R(s)G(s)C(s)（3）分支点

分支点表示同一信号向不同方向的传递，通常用于将来自方框的信号同时传向所需的各处。在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。2026/6/826/622.5系统的方框图和信号流图2.5.1系统方框图的组成

比较点是信号之间代数求和运算的图解表示，如图所示。在比较点处，输出信号（离开相加点的箭头表示）等于各输入信号（指向相加点的箭头表示）的代数和，每一个指向相加点的箭头前方的“＋”号或“－”号表示该输入信号在代数运算中的符号。在比较点处加减的信号必须是同种变量，运算时的量纲也要相同。比较点可以有多个输入，但输出是唯一的。（4）比较点

2026/6/827/622.5系统的方框图和信号流图2.5.1系统方框图的组成

系统的结构图具有以下特点：

（1）它形象而明确地表达了系统的组成和相互连接的关系。可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。

（2）对结构图进行代数运算和等效变换，可方便地求得整个系统的传递函数。

（3）当S=0时，结构图表示了各变量之间的静态特性关系，故称为静态结构图。而S≠0时，即为动态结构图。2026/6/828/622.5系统的方框图和信号流图2.5.2环节的基本连接方式

环节串联（1）环节串联2026/6/829/622.5系统的方框图和信号流图2.5.2环节的基本连接方式（2）环节并联+2026/6/830/622.5系统的方框图和信号流图2.5.2环节的基本连接方式（3）反馈连接+-2026/6/831/622.5系统的方框图和信号流图2.5.2环节的基本连接方式

单位负反馈+2026/6/832/622.5系统的方框图和信号流图2.5.3方框图的变换与简化（a）分支点前移（b）分支点后移（1）方框图的变换2026/6/833/622.5系统的方框图和信号流图2.5.3方框图的变换与简化（d）相加点前移（c）相加点后移2026/6/834/622.5系统的方框图和信号流图2.5.3方框图的变换与简化等效等效（e）交换或合并相加点（f）交换或合并分支点2026/6/835/622.5系统的方框图和信号流图2.5.3方框图的变换与简化（2）方框图的简化化简方框图的一般步骤：

（a）确定系统的输入量和输出量。

（b）利用等效变换法则，把相互交叉的回环分开，使其成为独立的小回路，整理成规范的串联、并联、反馈连接形式。

（c）将规范连接部分利用相应运算公式化简，然后再进一步组合整理，形成新的规范连接，依次化简，最终化成一个方框，该方框所表示的即为待求的总传递函数。一般应先解内回路，再逐步向外回路一环环简化，最后得到系统的闭环传递函数。2026/6/836/62（2）方框图的简化例2-23用方框图的等效变换法则，将图2-38（a）所示的三环回路方框图简化。

－+-(a)+++（1）将图2-38(a)中包含H2的负反馈环的相加点前移，并交换相加点得到图(b)。2026/6/837/62（2）方框图的简化－+-(b)+++－-(c)++（2）图(b)中H1正反馈环为独立小回路，可化简消去，得到图(c)。

2026/6/838/62（2）方框图的简化（3）图(c)中负反馈环为独立小回路，可化简消去，得到图(d)。

－(d)+（4）图(d)为单位全反馈，化简得到图(e)。(e)2026/6/839/622.5.4系统的信号流图及其简化

（1）信号流图的概念

信号流图是一种表示一组联立线性代数方程的图。它描述了信号从系统中一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系，包含了结构图所包含的全部信息，与结构图一一对应。信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。

信号流图中节点表示的量，在电网络系统中可以代表电压或电流等，在机械系统中可以代表位移、力、速度等。2026/6/840/622.5.4系统的信号流图及其简化

（1）信号流图的概念

a、节点：在信号流图中，节点用来表示变量或信号，用符号“○”表示。如图中X1，X2，X3，X4，X5，X6。节点包括三种类型：

输入节点（也称为源节点）：如图中X1

输出节点（也称为汇节点或阱节点）：如图中X6

混合节点：是指既有输入又有输出的节点：如图中X2，X3，X4，X52026/6/841/622.5.4系统的信号流图及其简化

b、支路：在信号流图中，支路是连接两个节点的定向线段，它具有支路增益，在图中标记在相应的线段旁，信号只能在支路上沿箭头方向传递。支路增益可以是实数，也可以是复数。如支路X1→X2的增益为G1；支路X2→X3的增益为G2；

支路X1→X5的增益为K。2026/6/842/622.5.4系统的信号流图及其简化

c、前向通路:

指的是沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径，通路上各支路增益之乘积，称为通路总增益，一般用Pk表示。如图中，输入节点X1到输出节点X6有两条前向通路。第二条为：X1→X5→X6，其前向通路增益P2＝KG5。第一条为：X1→X2→X3→X4→X5→X6，其前向通路增益

P1＝G1G2G3G4G5；2026/6/843/622.5.4系统的信号流图及其简化

d、回路：在信号流图中，当信号沿支路传送时，通过任一节点的次数只有一次，且起点和终点在同一个节点上的闭合通路叫做单独回路，简称回路。回路中所有支路增益之乘积叫做回路增益，用Li

表示。如图中共有两条回路：第二条为：X4→X5→X4，其回路增益L2＝-G4H2。第一条为：X2→X3→X2，其回路增益L1＝-G2H1；2026/6/844/622.5.4系统的信号流图及其简化

e、不接触回路：在信号流图中，假如回路之间没有公共节点和支路，则称它们为不接触回路。可以有两个不接触的回路，也可以有三个不接触的回路等等。2026/6/845/622.5.4系统的信号流图及其简化

①以节点代表变量。源节点代表输入量，汇节点代表输出量。混合节点表示的变量是所有流入该点信号的代数和，而从节点流出的各支路信号均为该节点的信号。信号流图具有下列性质:④对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的。②以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当在方框图中经过一个用方框表示的环节。③增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为汇节点。2026/6/846/622.5.4系统的信号流图及其简化

（2）信号流图的简化信号流图的简化规则②并联支路的总传输等于各支路传输之和，如(b)所示；①串联支路的总传输等于各支路传输之乘积，如(a)所示；2026/6/847/622.5.4系统的信号流图及其简化

（2）信号流图的简化③混合节点通过移动支路的方法消去，如(c)所示；④反馈环节由反馈连接的规则化为等效支路，如图(d)所示。2026/6/848/622.5.4系统的信号流图及其简化

例2.25

将系统方框图化为信号流图并简化之。求系统闭环传递函数。(1)将方框图化为信号流图。

解：2026/6/849/622.5.4系统的信号流图及其简化

2026/6/850/622.5.4系统的信号流图及其简化

2026/6/851/622.5.4系统的信号流图及其简化

系统的闭环传递函数为2026/6/852/622.5.5梅逊公式及其应用

从输入到输出的总传递函数，可以由信号流图逐次化简求得，也可以用梅逊公式直接计算得到。梅逊公式可表示为：式中，——总传递函数；——第n条前向通路的传递函数；——信号流图的特征式。2026/6/853/622.5.5梅逊公式及其应用——第条回路的传递函数；——系统中所有回路传递函数的总和；——两个互不接触回路传递函数的乘积；——系统中每两个互不接触回路传递函数乘积之和；——三个互不接触回路传递函数的乘积；——为第

条前向通路特征式的余因子，即在信号

流图的特征

式中，将与第条前向通路相接

触的回路传递函数代之以零后求得的，即为

。式中，——系统中每三个互不接触回路传递函数乘积之和；2026/6/854/622.5.5梅逊公式及其应用例2.26用梅逊公式求图2-45所示信号流图的总传递函数。图2-45例2.26中系统的信号流图由图可见，在节点Xi(s)和X