2-控制系统的数学模型

2026/6/81/86第2章控制系统的数学模型2.1概念2.2控制系统的微分方程2.3拉氏变换和反变换2.4传递函数2.5系统的方框图和信号流图2026/6/82/86建立系统数学模型的必要性：研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的数学表达式。描述各变量动态关系的数学表达式，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数及动态结构图。第2章控制系统的数学模型2026/6/83/862.1概念数学模型（MathematicalModel）：

描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。静态数学模型：

在静态条件下（变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：

描述变量各阶导数之间关系的微分方程。

在控制工程中，系统数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、方框图；频域中有频率特性等。随着具体系统和条件不同，一种数学表达式可能比另一种更合适。2026/6/84/862.1概念

建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度，略去一些次要因素，使模型即能准确的反映系统的动态特性，又能简化分析计算的工作。建立系统数学模型的方法试验法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量之间的数学表达式，从而建立数学模型。是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辨识。

2026/6/85/862.1概念系统的微分方程是动态数学模型中最基本的一种。用解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下：1、根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。2、从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列出在变化过程中的动态方程,一般为微分方程组。3、消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。4、标准化。2026/6/86/862.1概念

线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；

线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：

可加性：

齐次性：或：2026/6/87/862.1概念用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。

非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。

实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。2026/6/88/862.1概念

线性系统微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。

2026/6/89/862.1概念

线性化问题的提出

线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。

非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。

2026/6/810/862.1概念

线性化的提出

线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；

非线性系统的分析和综合是非常复杂的；

对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。2026/6/811/862.1概念

非线性系统数学模型的线性化

泰勒级数展开法

函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：

2026/6/812/862.1概念略去含有高于一次的增量

x=x-x0的项，则：或：y-y0=

y=K

x，

其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。2026/6/813/862.1概念增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。

对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。

2026/6/814/862.1概念增量方程：静态方程：其中：2026/6/815/862.1概念

滑动线性化——切线法0xy=f(x)y0x0

x

y’

y非线性关系线性化A线性化增量方程为：

y

y'=

x

tg

切线法是泰勒级数法的特例。2026/6/816/862.1概念

非线性系统线性化的微分方程的建立

步骤

确定系统各组成元件在平衡态的工作点；

列出各组成元件在工作点附近的增量方程；

消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；2026/6/817/862.2控制系统的微分方程

2.2.1建立微分方程的基本步骤

⑴确定系统或各组成元件的输入、输出量。

⑵列写出信号在传递过程中各环节的动态微分方程。

⑶按照系统的工作条件，忽略—些次要因素，对己建立的原始动态微分方程进行数学处理，如简化原始动态微分方程、对非线性项进行线性化处理等。

⑷消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的输入、输出量之间关系的微分方程。

⑸整理所得的微分方程。一般将与输出量有关的各项放在微分方程等号的左端，与输入量有关的各项放在微分方程等号的右端，并且各阶导数项按降幂排列。

如果系统中包含本质非线性的元件或环节，通常可将其进行线性化。2026/6/818/862.2.2机械系统的微分方程机械平动系统

在实际的机械平移系统中，经常按集中参数建立系统的物理模型，然后进行性能分析。在这种物理模型中，有三个基本的无源元件：质量m，弹簧k，阻尼器c。质量体现系统的惯性力是系统中的储能元件，存储平动动能。弹簧体现弹性力也属于储能元件，存储弹性势能。阻尼器产生粘性摩擦的阻尼力

大小与阻尼器中活塞和缸体的相对运动速度成正比，是一种耗能元件，主要用来吸收系统的能量，并转换成热能耗散掉。2026/6/819/86例2-1

设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示。图中，c为阻尼系数，k为弹簧的弹性系数。试写出在外力的作用下，质量块的位移的运动方程。2.2.2机械系统的微分方程2026/6/820/862.2.2机械系统的微分方程解：（1）确定输入变量为F(t)

，输出变量为质量块的位移x(t)。（2）取质量块对其进行受力分析，作用在质量块的力有外力；弹簧的弹力，其方向与位移的方向相反；阻尼器的阻尼力，其方向与速度的方向相反。（4）将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得：（3）对于质量块m而言，根据牛顿第二定律2026/6/821/86机械转动系统回转运动所包含的要素有惯量、扭转弹簧、回转粘性阻尼。例图为在扭矩

M作用下的转动机械系统，外加扭矩和转角间的微分方程为图例

回转机械系统

转动惯量转角

rad回转粘性阻系数

扭转弹簧常数

扭矩2.2.2机械系统的微分方程2026/6/822/862.2.2机械系统的微分方程例2.2如图2-2是含有一级减速器的齿轮传动系统，是输入转矩，是输出轴上所带负载的阻转矩，、、、分别为主动轴和从动轴的转动惯量和阻尼系数，减速器的传动比为。如果以为输入量，以为输出量，列写出系统的运动方程。图2-2一级减速器齿轮传动系统2026/6/823/86

解：为从动轴作用于主动轴上的转矩，为主动轴作用于从动轴上的转矩，对于主动轴和从动轴分别根据转矩平衡方程列写系统方程：

齿轮传动系功率平衡方程为：令：则上式简化为：利用式(2-5)、(2-6)及（2-7），消去中间变量、、，得：2.2.2机械系统的微分方程2026/6/824/862.2.2机械系统的微分方程例2-3图2-3(a)表示了一个汽车悬浮系统的原理图，试求汽车在行驶过程中的数学模型。

图2-3汽车悬浮系统及其动力学模型2026/6/825/862.2.2机械系统的微分方程

解：图2-3(b)表示了经简化后的悬浮系统。这时，P点上的垂直位移为系统的输入量，车体的垂直运动为系统的输出量，只考虑车体在垂直方向的运动。垂直运动从无输入量作用时的平衡位置开始测量。

即：对于如图2-3(b)所示的悬浮系统，由牛顿第二定律可得：2026/6/826/862.2.3电气系统的微分方程

电网络系统模型中，通常包含三种线性双向的无源元件：

、电感、电容。

电感是一种储存磁能的元件；电容是储存电能的元件；电阻是一种耗能元件，将电能转换成热能耗散掉。由它们的组合，可构成各种网络电路。电阻例2-4

图2-4为RLC串联电路，其输入电压为Ur，输出电压为Uc。试写出Ur和Uc之间的微分方程。uruciC图2-4RLC电路2026/6/827/862.2.3电气系统的微分方程

解：（1）确定输入电压为Ur

，输出电压为Uc

。（2）设中间变量电流i。（3）根据克希荷夫定律，有uruciC（4）消去中间变量，整理得

2026/6/828/862.2.3电气系统的微分方程

例2-5

如图2-5为由两级形式相同的RC电路串联组成的滤波网络。试列写出输入与输出之间的微分方程。图2-5两级RC滤波网络（1）确定输入电压为ur，输出电压为uc解：（2）设中间变量电流i1和i22026/6/829/862.2.3电气系统的微分方程

（3）对L1回路，可列写方程（1）对L2回路，可列写方程（2）（3）（4）联立式（1）、（2）、（3），消去中间变量2026/6/830/862.2.4机电系统的微分方程在工程中的机电控制系统常由机械系统、电气系统、液压系统、气动系统以及热力系统等综合构成，形成复杂的系统。列写这类复杂控制系统的微分方程一般采用以下步骤：⑴分析系统的组成结构和工作原理，将系统按照其组成结构和属性划分为各组成环节，并确定各环节的输入、输出变量；⑵根据各组成环节的属性和所遵循的运动规律及物理定律，列写出每一个环节的原始微分方程，并将其适当地简化；⑶按照系统的工作原理，根据信号在传递过程中能量的转换形式，找出各组成环节的相关物理量，将各组成环节的微分方程联立，消去中间变量，最后得到只含输入变量、输出变量以及参量的系统微分方程。2026/6/831/862.2.4机电系统的微分方程

例2-6如图2-6所示机电系统中，为输入电压，为输出位移。和分别为铁芯线圈的电阻与电感，为质量块的质量，为弹簧的刚度，为阻尼器的阻尼系数，功率放大器为一理想放大器，其增益为。假定铁芯线圈的反电动势为，线圈电流在质量块上产生的电磁力为，并设全部初始条件为零。试列写出该系统的输入输出微分方程。图2-6机电系统

2026/6/832/862.2.4机电系统的微分方程

对于电气系统这个环节，根据基尔霍夫定律，写出原始方程：

对于机械系统这个环节，通过受力分析，根据牛顿第二定律写出原始方程，可得：消去中间变量，并整理得：2026/6/833/862.2.4机电系统的微分方程图2-7电枢控制直流电动机原理图

例2-7试列写出如图2-7所示的电枢控制直流电动机的输入输出微分方程。电枢的输入电压为输入量，电动机转速为输出量，图中、分别为电枢电路的电阻和电感，

为折合到电动机轴上的总负载转矩，设激磁磁通为常值。2026/6/834/862.2.4机电系统的微分方程

对于电枢回路，设电枢旋转时产生的反电动势为，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压相反，即根据基尔霍夫定律，写出原始方程：对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为，电动机的转矩系数为，则电磁回路的转矩方程为：2026/6/835/862.2.4机电系统的微分方程

对于负载而言，设是电动机折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，则电动机轴上的转矩平衡方程为：消去中间变量、和，可得到以输出量为，输入量为的电枢控制直流电动机的微分方程：2026/6/836/862.2.4机电系统的微分方程在工程应用中，由于电枢电路电感很小，通常忽略不计，因而式（2-15）可简化为：如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计时，式（2-15）可进一步简化为：这时，电动机的转速与电枢电压成正比，于是，电动机可作为测速发电机使用。2026/6/837/862.3拉氏变换和反变换

拉普拉斯变换(LaplaceTransform)（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普通时间函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数转换成复变量的代数函数。微积分的运算能由在复平面内的代数运算来代替。于是，时域的线性微分方程能转换成复数域的代数方程。这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。2026/6/838/862.3拉氏变换和反变换在控制工程中，使用拉氏变换的主要目的：

研究系统动态特性因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。

拉普拉斯变换法有以下两个优点：

⑴可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分方程。

⑵当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量。2026/6/839/862.3拉氏变换和反变换原函数(OriginalFunction)象函数(ImageFunction)

2.3.1拉普拉斯变换的定义

设时间函数

,则

的拉普拉斯变换定义为2026/6/840/862.3拉氏变换和反变换一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)在t<0时，

(2)在t≥0的任一有限区间内，是分段连续的；(3)当t→﹢∞时，的增长速度不超过某一指数函数，即2026/6/841/862.3拉氏变换和反变换如果复变函数是时间函数的拉氏变换，则称为的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为：对于一切复变量，只要其实部，积分

就绝对收敛。

2026/6/842/862.3拉氏变换和反变换2.3.2几种典型函数的拉氏变换由于拉氏变换运算是被积变量区间为的线性积分运算，所以，以下实施拉氏变换的函数均取的单边函数。单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。常用的时间函数有：2026/6/843/862.3拉氏变换和反变换单位脉冲函数

(t)0tf(t)单位脉冲函数

1

由洛必达法则：所以：2026/6/844/862.3拉氏变换和反变换单位阶跃函数u(t)的拉氏变换为单位阶跃函数10t2026/6/845/862.3拉氏变换和反变换单位斜坡（速度）函数10tr(t)单位斜坡函数12026/6/846/862.3拉氏变换和反变换单位加速度函数单位加速度函数0tr(t)2026/6/847/862.3拉氏变换和反变换指数函数指数函数0tr(t)12026/6/848/862.3拉氏变换和反变换正弦及余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由欧拉公式，有：

2026/6/849/862.3拉氏变换和反变换从而同理2026/6/850/862.3.3拉普拉斯变换的性质1、叠加定理叠加定理的线性性质指同时满足叠加性和齐次性

。

叠加性：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。如，则。齐次性：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则。

则

若有

，a和b为常数2026/6/851/862.3.3拉普拉斯变换的性质2、微分定理

f(0)为时间函数f(t)在t=0处的初始值。注意，假设f(0-)=f(0+)=f(0)。证：根据拉氏变换的定义并应用分部积分法，有2026/6/852/862.3.3拉普拉斯变换的性质推论若，则特别地，当时，有2026/6/853/862.3.3拉普拉斯变换的性质3、积分定理证：其中2026/6/854/86当f(t)在t=0处连续时推论若则2.3.3拉普拉斯变换的性质2026/6/855/862.3.3拉普拉斯变换的性质4、延时定理证：若有，对任意实数a

,则2026/6/856/862.3.3拉普拉斯变换的性质对于故上式右边的第一项积分值为0。对于第二项积分，作变换，则2026/6/857/862.3.3拉普拉斯变换的性质5、位移定理证：若

，对于任意常数a(实数或复数)，有同理：拉氏定理的定义为在这时可认为变量s为s+a2026/6/858/862.3.3拉普拉斯变换的性质若，且存在，则

令对上式取极限6、初值定理2026/6/859/862.3.3拉普拉斯变换的性质2026/6/860/862.3.3拉普拉斯变换的性质7、终值定理若函数f(t)及其一阶导数均可进行拉氏变换，由微分性质可知：证：对上式取极限令2026/6/861/862.3.3拉普拉斯变换的性质所以即因为2026/6/862/862.3.3拉普拉斯变换的性质8、卷积定理两函数f1(t)和f2(t)的卷积定义为根据拉氏变换的定义，时，，故当时，，上式可以写成2026/6/863/862.3.3拉普拉斯变换的性质可见，在拉氏变换中卷积的定义和一般卷积定义是一致的，只不过是由于拉氏变换中函数

，从而引起卷积积分限发生变化。卷积满足以下性质：

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

拉氏变换的卷积定理：

则2026/6/864/862.3.3拉普拉斯变换的性质证:交换积分次序由延时定理得2026/6/865/862.3.3拉普拉斯变换的性质9、时间尺度的改变时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换特性(ScalingProperty)或称压扩特性(CompandingProperty)。证：若，a是任意常数，则2026/6/866/862.3.4拉普拉斯反变换已知象函数，求其原函数的变换称作拉氏反变换（InverseLaplaceTransform），记为：，并定义为2026/6/867/862.3.4拉普拉斯反变换通常求拉氏反变换的方法有：(1)查表法(3)部分分式法(2)有理函数法应用部分分式展开法（Partial-FractionExpansionMethod）计算拉氏反变换的一般步骤如下：（1）计算有理分式函数F(s)的极点；

（2）根据极点把F(s)的分母多项式进行因式分解，并进一步把F(s)

展开成部分分式；（3）对F(s)的部分分式展开式进行拉氏变换。

2026/6/868/862.3.4拉普拉斯反变换一般象函数可以表示成如下的有理分式式中，和分别为F(s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且n>m。如果n=m，则分子B(s)必须用分母A(s)去除，以得到一个s的多项式和一个余式之和，在余式中分母阶次高于分子阶次。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下三种情况。2026/6/869/862.3.4拉普拉斯反变换当F(s)无重极点时，即只有各不相同的单极点。F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：

式中，Ai为待定常数，称为F(s)在极点pi处的留数，可按下式计算

（1）F(s)的极点各不相同的情况于是2026/6/870/862.3.4拉普拉斯反变换例2-8：求的原函数。解：原函数为:

计算：2026/6/871/862.3.4拉普拉斯反变换（2）F(s)含有共扼复数极点的情况求解方法1：假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。2026/6/872/862.3.4拉普拉斯反变换求解方法2：当-p1、-p2为一对共轭复数极点时，此时F(s)仍可分解为下列形式